дущем случае.

Если мы введем вспомогательные векторы Ь - РЬ и Co = cPi, то очевидно, что Ь* = Р2Ьо, с = CqP2. Преимущество введения векторов Ь, Cq в том, что они получаются из действительных векторов Ь*, с* предыдущего

случая заменой 8 и Xg на /8 и соответственно, и, конечно, Р на Pj. Таким образом, мы находим

Co = i {Л -ag-, gX2-{-h, gl2-\-h},

c*=ki{h - ag, 2h-go., -gb],

, jKf-ft)j.g -a-\2],

где \p.\-{ag - h)[a{a - a)--p]i8. Следовательно,

Это приводит нас к неравенству [см. неравенство (20.5)] здесь

h 1 Т h - •r(«-2fl)

"i- 2 а(д -а)+р • 2"" 28[д(д -<х)-[-р] •

Ci = (2ft -§-a)i, С2 = -g-8i,

b = . с = Vc\+ci

{1, если стоящий при нем коэффициент положителен, О в противном случае.

§ 22. Общее регулирование

До настоящего момента мы занимались задачей регулирования, в которой требовалось поддерживать систему в положении равновесия довольно простой природы.

Более общей является следующая проблема. Пусть работа машины описывается «-мерным векторным уравнением

у = У(у).

и пусть оно имеет решение y = (t), которое описывает желаемый режим работы. Из общих соображений мы можем предположить, что (t) ограничено при всех tO. Нашей задачей является осуществление такого регулирования, при котором разность у - {t) по возможности незначительна. Иными словами, мы приходим к задаче

x = Y{y)-kit)=Y[x-\-lit)]-i(t),

х = Х(х, t), Х(0. 0=0 при >0. (22.1)

Здесь начало координат является положением равновесия и требуется, чтобы оно было устойчивым.

Включая регулятор, управляемый с помощью о, /(о), мы можем записать в общем виде

х = Р(х, /(о), 0. о" = 0(х, /(о). 0.

(22.2)

где Р{х, О, t) = X{x. t), так что Рф, О, 0 = 0 пр" tO. Можно также считать, что 0(0, О, 0 = 0 при всех fO. Таким образом, функцию /(о) надо выбирать как и прежде, т. е. начало координат пространства х, о будет положением равновесия, если о/(о)>0 при а ф О и /(0) = 0. Это положение равновесия желательно сделать асимптотически устойчивым.

Пусть а, р, -[-три скалярные функции от и вектора X, причем

а=р + 7. (22.3)

Предположим, что при достаточно больших t и достаточно малых X разность а-р мала и стремится к нулю вместе с х. Будем в таком случае вместо (22.3) писать а = р и говорить, что а почти равно р. Можно сказать также более точно: возьмем О достаточно большим и произвольное е > 0; тогда существует такое 7j = 7j(e, t), что при fta и xj<7j справедливо неравенство

а - р <е. Практическое значение соотношения а=р состоит в том, что при всех больших t и малых х знак а совпадает со знаком р.

Допустим теперь, что систему (22.2) можно переписать в виде

( X = Лх 4- / (о) 6,

:СХ - Г/{0).

(22.4)

где символ = понимается теперь по отношению к вектору {х, о), т. е. по отношению к х!-[-о. Конечно смысл остальных символов А, b ... тот же, что и в основной системе (15.11). Смысл системы (22.4) просто в том, что в правых частях собраны, так сказать, „главные члены" функций F » G.

Если мы теперь повторим наши прежние рассмотрения § 14, 15, 17, то сможем убедиться, что по существу все остается справедливым при замене знака = на =. В частности, если основное неравенство (18.2) выполнено, то функция V будет функцией Ляпунова в некоторой области

0<хЦ-о <В, t>t,.

Мы можем тогда иметь асимптотическую устойчивость в „малом" (локально), но мы не в состоянии гарантировать ее в абсолютном смысле. Это все, что может дать изложенный в этой главе метод в затронутом общем случае).

) Приведенные в этой главе достаточные условия абсолютной устойчивости системы (15.11) очень просты и удобны, но в то же время эти условия являются весьма узкими и зависят от выбора положительно определенной матрицы С, которая входит в основное неравенство (18.2). Существуют значительно более сильные достаточные условия абсолютной устойчивости системы (15.11), которые, в частности, охватывают все условия, получаемые из неравенства (18.2) при различных С > 0. Читателя, желающего более детально познакомиться с этим кругом вопросов, мы отсылаем к книге Айзерман М. А. иГаит-м а X e р Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых систем, Изд-во АН СССР, \т. - Прим. ред.