х1= /72iXi-j- /722x2+ ... -hP2n п-

(3.1)

При этом точка или вектор х как геометрический образ не изменяется, а приобретает лишь новые координаты X*. Поскольку подобный переход обратим по самому смыслу этой интерпретации, мы должны иметь возможность находить также и координаты х, зная координаты х*; иначе говоря, система (3.1) должна быть однозначно разрешима относительно х. Как известно, для этого необходимо, чтобы \Р\фО, т. е. чтобы матрица Р была

невырожденной; тогда х = Р"х*. Именно поэтому условие невырожденности мы оговорили в самом начале.

Таким образом, здесь наборы чисел (координаты) х и х рассматриваются просто как различные представления (способы задания) одного и того же (с геометрической точки зрения) вектора. Эти представления связаны между собой формулами

х* = Рх, х = Р"х*,

Если X - вектор-столбец, а y=::(yj, у, .... у„)- вектор-строка, то произведение матриц ух просто равно скалярному произведению у х соответствующих векторов.

Пусть А-пХ «-матрица. Матричное произведение Ах, где X - вектор-столбец, является « X 1-матрицей, т. е. снова вектор-столбцом. Таким образом, с помощью матрицы А осуществляется преобразование «-мерных векторов в «-мерные векторы.

Это преобразование допускает две интерпретации.

а) Преобразование координат. Эта интерпретация имеет смысл только в том случае, если А - невырожденная матрица. Рассмотрим две различные системы коор-

динат Xj, . . ., х„ и xi.....Хп в одном и том же пространстве Е". Переход от одной системы к другой осуществляется посредством и соотношений [вместо матрицы А здесь взята матрица P = (pij)]:

) Иными словами, мы можем представлять себе такую деформацию пространства (при неизменной системе координат), в результате которой точка х переходит в положение у = Ах. - Прим. перев.

из которых первая является краткой записью соотношений (3.1). Поэтому мы можем говорить о „векторном пространстве", существующем независимо от вводимой системы координат. Хорошо известно обычное представление скоростей, ускорений, сил, электрических и магнитных полей с помощью векторов. Все эти физические объекты существуют, естественно, независимо от выбираемой системы координат.

б) Преобразование векторов. В другой интерпретации вектору X с помощью равенств

y,. = anx,+ ... +аг„д;„, i=\, 2, .... п, или, в векторной форме,

у = Ах, (3.2)

ставится в соответствие новый вектор у в том же самом пространстве. На этот раз соответствие уже не обязательно должно быть обратимым, т. е. система (3.2) может и не разрешаться однозначно относительно х. Описанная интерпретация, следовательно, имеет смысл и для вырожденной матрицы А.

Таким образом, в этом случае происходит фактически преобразование векторного пространства в себя>).

Посмотрим, как будет выглядеть преобразование (3.2) в другой системе координат. Преобразуем координаты по формулам (3.1); при этом х, у переходят соответственно в х*, у*:

X* = Рх, у* = Ру

и. следовательно,

у* = РАх =РАР~х*.

Другими словами, в новой системе координат преобразование векторного пространства в себя описывается матрицей А* = РАР~, о которой говорят, что она подобна матрице А.

\РАР~-1Е = \РР- -Х£ = 1 Л-

Следовательно, две подобные матрицы А и РАР~ имеют одно а то же характеристическое уравнение (2.8).

Пусть, далее, все характеристические корни X,, матрицы А различны. Если они, кроме того, все действительны, то можно доказать, что матрица А подобна

матрице diag(X,.....Х). Это значит, что можно найти

такую систему координат, в которой данное преобразование пространства записывается в виде

т. е. в этой специальной системе координат исходное преобразование равносильно умножению на Xj компоненты вектора, соответствующей 1-й оси координат. Допустим теперь, что не все характеристические корни действительной матрицы А действительны. Если c = a-\-lb, то условимся обозначать через с = а-Ф число, комплексно сопряженное числу с. Как известно из алгебры, все комплексные корни распадаются на пары комплексно сопряженных корней, поскольку коэффициенты характеристического уравнения действительны. Пусть характеристическое уравнение имеет р пар комплексно сопряженных корней

X,, X,.....\ \ и q = n - 2р действительных корней

Xjp+j.....Хд. Тогда можно выбрать комплексную матрицу Р

такую, что

РАР- =diagil„\. .. .Л,Лр,\+,.....Х„).

Соответствующее преобразование приобретает в этом случае вид

у, = Х,Х,. Уз =1,Х2.....У2;, =\х2р,

У2р + 1 ~ hp + lX2p+l.....Уп~ \Х.

-.-1

Рассмотрим характеристические уравнения двух подобных матриц. Поскольку

РАР~ -1Е РАР~ -Р(кЕ)Р~ = Р(А-кЕ)Р~\ то для определителей этих матриц мы получаем равенство