В качестве элементов второго столбца матрицы Р мы должны взять алгебраические дополнения ненулевой строки матрицы

А - Х2Е=:

- Р - 2 - а О \ h g -а - Хд/

Возьмем, например, опять вторую строку; тогда

Используя уравнение, определяющее величину Xg, можно записать, что

j(j22 = (a -а)Х2-р.

Те же самые вычисления проводим для нахождения рд, i = l, 2, 3; при этом Xg заменяется на Xg. Это позволяет найти последний столбец матрицы Р:

Окончательно

f Р= О

\h~ag Далее находим

а + Хз a + Xg \

(а а)Х2 -р (а -а)Хд -р йХз + й gK,-j-h j

c = {Q. О, fti}. c*=cP={fti(A -ag). k.igX+fi), A,(gXg + A)}.

Наконец осталось вычислить b* = P~b. Пусть Р~ = (тсу). Легко увидеть, что

6 = {0.7.0}. ** = {т12. тгг. т%2}- (21-2)

Следовательно, необходимо вычислить элементы только второго столбца матрицы Если - алгебраическое дополнение элемента рц матрицы Р. то

[а (a a)-f р]8

2*,-Г

[-Р]8 1 2а "1"

}

2 (Q + XaXgXa-f ft) £3 («+а) (gX3+ Л) а -8 а-[-5

где е,. определено равенством, аналогичным (18.4).

Второй случай. Х2, Х3 - комплексно сопряженные числа. Здесь имеем о? < 4р. Введем обозначение 8= /4р-а2; тогда корни характеристического уравнения

Xi= .а, Х2= К~-2~~

Поэтому задача сводится к вычислению алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы Р и ее определителя. Сразу находим, что

р = (Л - ag) {аН-2 [(а - а)Хз - р]-

-(а+Хз)[(а-а)Х2-Р]}=: = {h~ ag)[a{a-o.) + Q-h,) = = -(A-ag)[a(a-a) + p]8.

Далее, последовательно вычисляем алгебраические дополнения:

элемента р

Pi2 = - + 2) iSh + h) + {a+\) {g-k -4- Л) = ={ag - h)b = i2\P\ элемента Р22

Р22 = - Л) (а + Хз) = 1г22 элемента р

Pz2 = {h-ag){a + l2) = 2\P\-

Подставляя все эти выражения в формулу (21.2), мы находим

= {8.а + Хз.-а-Х2}. Основное неравенство принимает вид

hll I 22С2 , ¥зСз

Все корни имеют отрицательные действительные части, если а > О, а > 0.

Вычисления, приведенные при рассмотрении первого случая, справедливы и здесь, только 8 заменяется на lb, Xj на Xj и Р на Pj.

Необходимо отметить, что мы отклонились от нашей общей схемы решения, изложенной в § 20, ибо комплексная пара Xg, Xg следует сейчас после действительного собственного значения X,, а не перед ним. Однако это служит причиной весьма незначительных изменений, которые вполне доступны читателю.

Видоизменения по сравнению с уже указанным первым случаем имеют место только в первой части исследования. Мы можем представить себе получившееся преобразование в виде x=Pi2, где z имеет две комплексно сопряженные компоненты Z2 = z -\- i-z", 2g = 2 - Iz". (Для удобства преобразование записано в обратную сторону: от новых переменных z к начальным переменным х.) Чтобы перейти от действительных координат х к действительным координатам у, надо совершить еще преобразование [Zy, 2g, Zg} -> {Zy, z, z"\, Zy=Z,, Z2 = Z + IZ",

z, = z-iz". Матрица этого преобразования такова:

а обратная матрица

Р2- =

Vo 1 о

о 2Г -

Итак, преобразование х->у имеет матрицу Р - РР2, обратная к ней матрица Р~ = Р2Р{. Как *и в преды-