которые легко решаются:

Поскольку G - невырожденная матрица, то ji-j-О, и потому р = 0. Окончательно:

Я = diag(

В = diag

2[. • 2ix}

2k + i d„ \

Определяя далее b = P2 Pi б и с" - сРР, мы находим из (18.2) ft

Р L

4-1р J . Г, (Vp

-гр-

.s = 2ft + l

Наименьшее значение второй суммы вычисляется как и прежде; оно равно

л ,*»

s=2k+l

где определяется формулой (18.4). Рассматривая члены первой суммы, мы попытаемся выбрать каждое из чисел dp так, чтобы достигался минимум выражения

4rf„

Положим

bn = b2p-u

2Р-1

bp = b2p.

p-\-bp.

Cp = Vc-: + c":;

P H \ и p p I - p

вышеупомянутое выражение тогда достигает минимума при

а само наименьшее значение равно

Основное неравенство в случае 2k комплексных корней может быть теперь записано в виде

>i2(v.+;4+v;)+ i (20.5)

л = 2Ат 1

где имеет смысл, указанный в (18.4). Напомним только, что [Ар - взятая с обратным знаком действительная часть комплексного корня Хр.

§ 21. Приложение к одному важному случаю

В теории автоматического регулирования возникла следующая задача. Дана система с регулятором, которая описывается совокупностью уравнений

q-\-aq = ge-irhe,

С = /(в). а = kq - 2>

где е, С> q, о - переменные; о и / (о) - элементы регулирования. Эту систему уравнений надлежит исследовать на устойчивость.

Дифференцируя первые два уравнения и полагая Ху=е, Х2=е, x = q, приходим к системе

x = Ax + f(a)b,

[ ocx-rf(a)

знакомого нам вида (15.11), но при я -3. Здесь /01 0\ /0\

(21.1)

-Р -а О , 6= 7 V Л g -aJ \0j

t=r (О. О, k,}, r = k2.

Предположив, что k-h- - ka Ф О, несложно показать, что если хна стремятся к нулю, то это же происходит к с в и д. Следовательно, вопросы устойчивости исходной системы можно с таким же успехом изучать, рассматривая систему (21.1).

Характеристическое уравнение

- X 1 О

.р -а-X О =0, h g -а-X или (X-f-a)[X(X--a)-fP] = 0 имеет корни

а-[-8

Х,=-а,

Хз = -

2 • "3 - "2" •

где для краткости обозначено 8=]/а2 - 4р.

Первый случай. Xj, Х3 - действительные и различные числа. Условия, при которых все корни будут действительными,-различными и отрицательными, таковы):

а > О, а2 > 4р > О, а > 0.

Мы заметим также, что Xj - Хз = 8.

Вычисление матрацы Р. Элементы первого столбца этой матрицы пропорциональны алгебраическим дополнениям одной из ненулевых строк матрицы

А - \,Е =

f а I 0\ - Р а -а О \ h g О/

Возьмем, например, алгебраические дополнения элементов второй строки; тогда мы можем записать, что

Pii = P2i = 0- Pii = fi - ag.

) Эти условия обеспечивают неравенство Xj Ф Хд. Неравенства же X, = 2, X, =jt Хд накладывают на параметры а, а, р дополнительные ограничения. - Прим. ред.