Второй случай. Среди характеристичеких корней матрицы А имеются комплексные. Характеристическое уравнение

\A-kE\=Q

имеет действительные коэффициенты, а потому все комплексные корни можно разбить на пары комплексно сопряженных. Предположим, что корни \, .... А„ все различны и имеют отрицательные действительные части. Расположим эти корни следующим образом:

Xj, Xj, Xg, \.....Xj, Xj, Xjj + i, .... X„;

здесь первые 2k корней образуют комплексно сопряженные пары, а последние п-2k корней-действительные величины. Пусть, далее,

\р = -jA, 2fe < s <! n, где - все положительны.

Прежде всего сделаем такое преобразование координат x=PjZ, чтобы

PrUP, = diag(Xj, Xj.....Х„1,, Xg.i.....Х„).

Матрица играет здесь точно такую же роль, как и матрица Р в рассмотренном выше первом случае, но только теперь в матрице Р, столбцы, соответствующие \р и Кр, состоят из комплексно сопряженных элементов. Координаты Z можно выбрать так, что действительным

точкам соответствуют z,, z,.....2, 2, gj + i.....2„

при уже указанном порядке чисел Х. Таким образом, система X = Ах превратится (для действительных точек) в систему

р = Кр< "zp=\р \<P<k\

Zs=ss 2k<sn.

Мы хотим теперь выполнить новое преобразование координат Z = Р2У следующим образом. Если Zp - Ур-{-1ур, р k, то формулы преобразования выглядят так:

Zp=yp-i-iy;, lpy;-ty;, i.<p<a.

z = y,, 2fe<s<«,

Иначе говоря, преобразование отдельно преобразует сопряженные пары z, Zp и не меняет действительные координаты z. Пусть Р - РР. Тогда Р есть матрица преобразования, переводящего действительные координаты X снова в действительные координаты у, а потому, как легко проверить, Р - действительная матрица.

Все дальнейшие рассуждения будем проводить только в координатах у. Пусть А*, В* и т. д. имеют тот же смысл, что и в первом случае. В результате преобразования с промежуточной матрицей Aq = PiAPi пары Zp и Zp переходят соответственно в XpZ и XpZp при I pk, а Zg при ns 2k - в Xz, где - действительное число. Следовательно, матрица Aq переводит у-\-iy"

в + т. е. у; в f.y; vy; и у;

в vy - рУр- координатах у, у" мы можем записать это преобразование так:

(Ау)р-1Х-\У"г

р-р р-Р

р- р р-р (Л*у), = -!х,у,.

2fe < s < /г.

Отсюда видно, что матрица А* имеет следующую структуру:

А* =

Выберем далее С* = diag(rfj, rfj,

-tp/

тогда С* = diag 9*

1 1

1 1 1

При вычислении матрицы В* можно считать, что А* и С* имеют одинаковую структуру (но, конечно, с разными клетками). Отсюда легко вытекает, что можно предположить точно ту же структуру и для матрицы В*, скажем.

Ну О

В* =

*2ft + l

Выписывая соотношение (16.2) для k, мы немедленно находим

Для вычисления клеток Hj потребуется только принять во внимание клетки Оу и аналогичные клетки

/dj О

в матрице С*. Опуская для простоты индексы, мы приходим к равенству GH-{-HG = - diag(d, d) или, полагая

к равенству

а 1* - v\ fd 0

Приравнивая здесь соответствующие элементы слева и справа, получаем три уравнения

- 2iAa--2vp = -d.

- 21А7 -2vp = -d, 2jxp + v(7-d) = 0.