виде. Приближенное нахождение осуществляется строго обоснованными численными методами, и эту проблему можно считать решенной. Выберем числовую матрицу С > О для простоты в диагональной форме diag(di, й?„), rfj > 0; тогда матрица В находится в результате решения линейной алгебраической системы (17.2) с числовыми коэф-

1 1 \

фициентами. Поскольку, далее, С i = diag(;r-.....-т-

то все величины, входящие в неравенство (18.2), нами найдены. Таким образом, мы можем сделать заключение о характере устойчивости системы.

Обратим теперь наше внимание на решение вопроса о нахождении управления в общем виде, когда уравнения содержат буквенные коэффициенты. Такая постановка задачи очень важна с практической точки зрения. Дело в том, что во многих конкретных случаях в условие задачи входят, кроме точных числовых величин, некоторые допускающие варьирование параметры, область изменения которых должна быть определена в зависимости от тех или иных условий. Это оправдывает то внимание, которое будет уделено данному вопросу.

Чтобы избежать серьезных осложнений, мы будем считать, что все характеристические корни матрицы А различны и не равны нулю. Разберем отдельно следующие два возможных случая: 1) все характеристические корни матрицы А действительны; 2) некоторые из них комплексны.

Первый случай. Все характеристические корни матрицы А действительны а, следовательно, отрицательны ).

Обозначим характеристические корни матрицы А через

Xj.....Х„ и пусть Aj = -[Aj, > 0. Пусть, далее,

C = diag(iJij.....[!„). Наша цель-получить в явном виде

основное неравенство (18.2). Независимо от способа рассуждений, необходимо прямо или косвенно использовать такое преобразование координат х=Ру, которое превращает матрицу А в матрицу -АГ. Кроме того, возьмем

) Поскольку с самого начала предполагалось (см. § 15), что матрица А устойчива. -Прим. перев.

произвольную симметрическую матрицу С > О и определим матрицу В из системы (17.2). Пусть, далее, матрицы А* = - К, В", С* определяются так же, как и в (17.3), а векторы Ь*~Р~Ь, с* = Рс. Система (15.11) перепишется тогда в форме [см. (15.12)]:

а = с* .y - rf{<s).

(20.1)

а равенства (17.5) примут вид bki - b*ik.

Таким образом, зная матрицу С, последовательно по схеме С-С*-В*-В мы можем найти матрицу В. Однако наше основное неравенство (18.2) и не требует, чтобы мы возвращались от С к S. Если С*~ =(1-), то (см. § 2)

bj = lc\-(iJ-

где C*ji-алгебраическое дополнение элемента c*j в определителе и мы сразу же получаем [см. 18.2)]

/1 € h \ 1

ij + H

(20.2)

Если мы выберем матрицу С так, чтобы С* = diag (rfj, ...,й?„), rfj > О и чтобы правая часть равенства (20.2) имела минимум, то проведенные ранее вычисления приводят) к гораздо более простому конечному выражению

£,Ь,С,

(20.3)

i = i

где имеет тот же смысл, что и в (18.4).

) См. конец § 18. -Прим. перев.

Для того чтобы закончить рассмотрение вопроса, остается только указать метод нахождения матриц Р и Р~.

Нахождение матрицы Р. Из равенства Р""ЛР = - /<" мы получаем АР = - РК, что приводит к следующей линейной алгебраической системе:

Следовательно, величины Pi при фиксированном k являются решениями следующего векторного уравнения:

(Л-Xj£)S = 0. (20.4)

Поскольку - простые корни характеристического уравнения матрицы А, очевидно, что

а) ранг матрицы А-Xjf равен п - 1;

б) вектор-решение уравнения (20.4) определяется однозначно с точностью до коэффициента пропорциональности;

в) компоненты решения $ пропорцицнальны одновременно не равным нулю алгебраическим дополнениям элементов любой л-й строки определителя \А-ХЕ].

Из а) следует, что среди алгебраических дополнений (при некотором г) имеются ненулевые. Множество этих чисел и выберем в качестве решения Иначе говоря, k-Л столбец матрицы Р будет представлять собой описанное ненулевое решение уравнения (20.4), компоненты которого могут быть найдены как алгебраические дополнения к элементам некоторой строки матрицы А-Х£.

Нахождение матрицы Р". Из определения обратной матрицы P~=(iry) следует, что

где Pji-алгебраическое дополнение для элемента Pij в определителе Р].

Наша проблема, таким образом, полностью решена в рассматриваемом случае.