мы получаем на основании (19.2), что

т = - е. (19.3)

Теперь следует выяснить, возможно ли найти матрицу Ж > О такую, чтобы выполнялось равенство (19.3).

Прежде всего рассмотрим случай р = 2. Тогда (19.3) означает, что (/21=«12)

тп-\-т,2 = - 1- Щ2+Щ.2 - ~2 и, поскольку ж > о,

/ra,,m22~"i2 >

Положим для краткости m- - h-. г. е. тиц = - - h, т22 - - 2-- Величина h должна удовлетворять неравенству

( /г)( e2-h)-h = е,е., + {е,-\-е2)1г> 0.

Если е,~\-е2=0, то это неравенство превращается в ej2>0 которое невозможно); поэтому при е,-}-г2 = 0 равенство (19.3) не может быть удовлетворено. Если же 1 ~Ь 2 О, то всегда можно выбрать подходящую величину h.

Общий случай, конечно, гораздо сложнее. Пусть нам нужно выбрать матрицу

м=("

\S sj

где W = diag(A......ftp i), g= {g,, ...,gp{), s -скаляр, hi - положительные постоянные (т. е. Я > 0). Условие Ж > О означает, что

) Ибо равенство -j- = О означает, что числа е, и 62 разных знаков или одновременно нули. - Прим. перев.

Для того чтобы продвинуться дальше, предположим, что й?=(1, 1..... 1). Вводя обозначения

§ 19 Несколько характеристических корней равны нулю 113

Но, с другой стороны, равенство (19 3) дает

g,-\-fi - e,. s-\-Z g, = - e„.

! = 1

Следовательно, неравенство (19.4) можно переписать так:

Полагая hi-ki, мы приходим к выводу, что наименьшее значение каждого слагаемого этой суммы достигается при

ei=ki = hi и равно 4fe( = 4Л/. Следовательно,

1 = 1

В то же время

S = 2 (Л, + ei) - ер = Sq.

Если оС*! ™ а минимальное значение для s можно взять Sl, если Sq>s,, то Sg может быть взято за мини-м)гм. Тем не менее, даже если и нельзя выбрать s в указанных границах, мы можем надеяться выбрать матрицу Ж > О, так, чтобы она удовлетворяла усЛовию (19.3)).

) Здесь речь идет об определении нижней границы для значений величины - при условиях

Подставляя в неравенство выражение для s, получаем Р- „2 Р

Если 2 ™ нельзя удовлетворить этому неравенству при

( = 1

hi>0 и погом> нельзя определить матрицу М. Если же

Во многих приложениях система (19.1) возникает из следующей задачи;

xAx-{-f(o)b, y=f(a)d. (19.5)

а :=с[х-{-е[у.

Характеризующая обратную связь переменная а является линейной комбинацией фазовых переменных х, .... х„, У1, Ур. Эта задача, если вычислить производную <з, приводится к системе вида (19.1) при е - 0. Поскольку М-положительно определенная матрица, равенство (19.2) не может быть удовлетворено, и поэтому изложенный выше метод уже не проходит.

Если р > 1), то у системы (19.5) будет целая гиперплоскость положений равновесия, и лучшее, на что можно надеяться, это то, что каждое решение приближается к этой плоскости при t-oo.

§ 20. Расчет управления

Проблема расчета управления имеет два аспекта: приближенный численный расчет и решение вопроса в общем

2 = -< О, то следует искать min s = 2 + ~ ( = 1 Кр

границе"

Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, находим этот минимум, т. е. нижнюю границу для допустимых значений:

inf s =

1=1 J

1 = 1

- Прим. ред.

1) В частном случае р=\, исключая величину у, можно привести систему (19.5) к эквивалентному ей виду (15.11) и затем применить условие типа {1S.2). - Прим. ред.