а система (17.2) - вид

*ft/==*/ft. I. k=l.....п,

Возьмем, далее, матрицу C = diag(rfj.....d, где все

числа d положительны. Тогда

<-="5(i.....i)

.....к)-

.....

а неравенство (18.2) записывается так:

Найдем наименьшее значение правой части в зависимости от г. Очевидно, стоящая там сумма принимает минимальное значение, если каждая из скобок принимает минимальное значение. Пусть сначала числа bj и имеют один и тот же знак; можно считать, что оба они положительны. При этом предположении член в А-й скобке представляет собой сумму двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно. Следовательно, минимум достигается тогда, когда оба слагаемые равны между собой, т. е. когда = . Если же ЬрСр<.0, т. е. числа

bp и Ср имеют разные знаки, то сумма в соответствующей р-й скобке может равняться нулю. Окончательно

где .

jl прн ft,Cft>0; * = \0 при V*<0. -

Это неравенство дает в рассматриваемом случае нижнюю границу для допустимых) значений г.

§ 19. Регулирование в случае, когда несколько характеристических корней равны нулю

Пусть некоторые (но не все!) характеристические корни матрицы А в системе (15.4) равны нулю.

Сравнительно просто вопрос решается в том случае, когда в подходящим образом выбранной системе координат исходную систему уравнений (15.4) можно записать в виде

х = Лх-f- f{a)b,

y=f(o)d, (19.1)

i=cx4-2ey -л/(<з),

где у, d, е - р-мерные векторы, а остальные буквы имейт тот же смысл, что и раньше Поскольку вектор у остается постоянным в нерегулируемой системе, то его компоненты Уд, называются нейтральными параметрами.

Мы будем искать функцию Ляпунова в следующем виде:

У(х, у, <з) = уЖу4- хВх-\- j f(<i)dA.

Заметим, что в фигурных скобках стоит выражение (16.1), которое используется в качестве функции Ляпунова в на-

) Имеются в виду системы, удовлетворяющие условию (18.2). Поскольку это условие является только достаточным, но не необходимым, то, вообще говоря, могут существовать абсолютно устойчивые системы, не удовлетворяющие условию (18.2), для которых г имеет меньшее значение. - Прим. ред.

2) Таким образом, рассматривается система, состояние которой характеризуется я-j-p параметрами л;,.....х„, у,.....ур-,

матрица этой системы имеет р нулевых корней. Отметим, чтобь! не было недоразумений, что здесь матрица А устойчива и означает не всю матрицу регулируемой системы, как в § 15, а лишь ее часть, имеющую ненулевые собственные значения. - Прим. перев.

) Следова1ельно, симметрическую. - Прим. ред.

ших предыдущих рассмотрениях; M = {mij) означает положительно определенную) матрицу порядка р. Таким образом, функция V - положительно определенная во всем пространстве х, у, а. Непосредственный подсчет показывает, что

\/ = I хСх- гр (а) + 2/ (а) (в/, + i с) х +

+ 2 (Жй? + е)у/(а); АВВА = - С.

к выражению, заключенному в фигурные скобки, применимы рассмотрения § 16. Если мы теперь дополнительно выберем положительно определенную матрицу М так, чтобы выполнялось равенство

Жй? + е = 0 (19.2)

(если, конечно, такой выбор вообще возможен), то сразу получим функцию Ляпунова V, удовлетворяющую условию ~1/>0 при хО, f ФО и 1/ = 0 при х==/ = 0, у 0. Следовательно, с помощью построенной функции V {х, у, а) можно в лучшем случае получить условия устойчивости, используя первую теорему Ляпунова, а асимптотическое поведение решений может быть охарактеризовано на основании теоремы VIII, § 13. Множеством R, о котором упоминалось в этой теореме, является гиперплоскость х = 0, (3 = 0. Предположим, что решение системы (19.1) все время остается в множестве R. Тогда

х = 0,

У=0,

а = 2еу,

и мы видим, что это может случиться только в том случае, когда еу = 0. Гиперплоскость х = 0, а = 0, еу = 0 и является множеством Ж, фигурирующим в теореме VIII, § 13, а все решения неограниченно приближаются к этой гиперплоскости при t-oo. Каждая точка этой гиперплоскости служит положением равновесия системы (19.1). Этот результат является наиболее сильным из всех, которые мы могли бы ожидать.