Поскольку матрица V (t) невырождена при любом t, можно сделать преобразование координат у - Ух. В результате квадратичная форма примет вид Q(y, t) = yCy, и, следовательно, Q(y, 0>0 для всех векторов у = 0 и произвольного t.

Так как х- У~у, то условие у ф О при произвольном t равносильно неравенству л: 0. Поэтому Q(x, О > О Для. всех векторов л: О и любого t. Отсюда следует, что

хВх=х\ j Y{t)CY{t)dt

x>Q

для всех х фО, т. е. S > 0. Теорема XII полностью доказана.

§ 18. Решение проблемы регулирования

Возьмем некоторую матрицу С > О и обозначим через S > О единственную симметрическую матрицу, удовлетворяющую равенству (16.2); функция V {х, а) определяется формулой (16.1). Как уже выяснялось в § 16, эта функция будет положительно определенной для всех значений

переменных х, а, а ее производная V [см, (16.3)] представляет собой квадратичную форму относительно х и /(о).

Для того чтобы неравенство -1/ > О имело место при всех) х, f, должны быть выполнены п-\-1 неравенств критерия Сильвестра (см. § 8). Так как С > О, то первые п из этих неравенств выполняются автоматически, и остается только последнее:

-{Bb + c

>0, (18.1)

которое является необходимым и достаточным условием отрицательной определенности производной V{x, а).

) Одновременно не равных нулю,-Прим, перев.

Так как С = С > О, то определитель матрицы

положителен. Следовательно, определитель произведения матриц

/ с

[-(вь + 1с)

(ВЬ + С)

положителен одновременно с определителем (18.1), а потому условие (18.1) эквивалентно неравенству)

г>(вб+с)с-(вб+.с). (18.2)

К этому неравенству необходимо добавить еще условие (15.10), которое мы перепишем в виде

(18.3)

Эти два неравенства (18.2) и (18.3) являются фундаментальными неравенствами теории автоматического регулирования). Согласно теореме IX, § 13, они

) Неравенство (18.2) сразу получается, если определитель в (18.1) разложить по элементам последнего столбца н последней строки н затем разделить на ] С\. - Прим. ред.

2) На самом деле, одно неравенство (18.2) является достаточным условием, гарантирующим абсолютную устойчивость системы регулирования (15.4). Что касается неравенства (18.3), то оно выполняется, если выполняется неравенство (18.2).

Действительно, согласно теореме IX, § 13, условие (18.2) обеспечивает асимптотическую устойчивость системы (15.11) прн любой характеристике / (а). Выберем в качестве характеристики функцию (15.13); тогда матрица линейного приближения (15.14)

обеспечивают полную устойчивость регулируемой системы при всех допустимых функциях /.

Так как С > О, то и С" > О (см. § 3). Следовательно, стоящая в правой части неравенства (18.2) квадратичная форма неотрицательна, а потому из этого неравенства следует, что ) г > 0.

Заметим, что эффективность регулирования значительно повышается с увеличением г, поскольку это означает удаление от того состояния, в котором V перестает быть отрицательно определенной функцией. По существу увеличение г равносильно, таким образом, улучшению качества регулирующего механизма.

Важный частный случай. Пусть характеристическими корнями матрицы А являются -[Aj, -\х, где \х; все различны и положительны. Предположим, что координаты X с самого начала выбраны так, что в них

== -Д D = diag(5j,i.....

Тогда система (15.11) примет вид

x = - Dx-\-f{a)b,

Q =:cx - rf{a),

оказывается устойчивой. Умножив на нее слева матрицу (15.9), мы придем к матрице

„ (Е kA-b\

определитель которой равен -k(r-\- сА~Ь).

Используя формулу (2.9), легко понять, что если А - устойчивая матрица порядка п, то (-1)" ] А \ > 0. Точно так же легко убедиться, что если у1- устойчивая матрица, то н Л~ будет устойчивой.

Опираясь на эти результаты, можно сказать, что (-1)""JI >0 и (- 1)П[>0 (нбо одно нз собственных значений А равно -- 1). Поэтому О < (-1)" Mi- (-1)"+ lJi=-AI = A(r-f сАЧ).

н, в силу положительности k, получаем г> - сЛ~б. Таким образом, условие (15.10) выполнено и система (15.4) также асимптотически устойчива. - Прим. перев.

) Это необходимое условие положительной определенности производной V было указано в конце § 16. - Прим. перев.