Известно, что преобразование координат Р (быть может, комплексное) можно выбрать так, чтобы)

А* =

о 0,j

где 0 - квадратные клетки („блоки") вида 2)

Здесь £ - постоянное (хотя и произвольнее) число, отличное от нуля, причем собственные значения матрицы А* не зависят от е.

Пусть Д(з) - определитель линейной системы (17.2)*; нетрудно убедиться, что Д(е) является многочленом относительно е. В частности, при е = 0 из (17.2)* получается система

bik = bki, I, k=\,----и,

Qi-\-k)bik = - Cik, ik.

(17.5)

Следовательно, ее определитель Д(0) равен произведению всевозможных сумм, X.-[-Xj,, 1 k и, в силу условия теоремы, отличен от нуля. Поскольку Д(0)=0, то мно-

) Это так называемая нормальная жорданова форма матриц; клетки Gj, называются жордановыми клетками. Подробнее о приведении матриц к жордановой форме см. Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория .матриц, Гостехиздат, 1954; Мальцев а. и., Основы линейной алгебры, Физматгиз, 1956, - Прим. перев.

2) Обычно принимают е == 1. - Прим. перев.

В= f Y(t)CY{t)dt.

Прежде всего мы должны показать, что интеграл сходится. Согласно свойству V, § 5, элементы матрицы Y представляют собой конечные суммы членов вида g(t)e~, где g(t) - многочлен степени меньше и, а X - характеристический корень матрицы А. Но тогда точно такое же утверждение справедливо и для всех элементов матрицы

) Здесь К (<) -главная матрица решений (нормированная фундаментальная матрица) системы {17.6). - Прим. ред.

гочлен Д(е) не равен нулю тождественно. Он имеет лишь конечное число корней, и если мы выберем е отличным от всех этих корней, то получим неравенство Д(е)тО.

Теперь неизвестные b*ii однозначно определяются из системы (17.2)* по заданным числам с*, т. е. матрица В* однозначно восстанавливается по матрице С*. Поскольку, далее. В* и С* однозначно определяются соответственно по матрицам В н С равенствами (17.3) и обратно, можно заключить, что все элементы матрицы В взаимно однозначно определяются из системы (17.2) через известные элементы матрицы С. Теорема доказана.

Теорема XII. Пусть матрица А устойчива. Если матрица С положительно определенна, то указанная в теореме XI матрица В - единственное симметрическое решение уравнения (16.2) - также положительно определенна.

Доказательство. Мы построим явным образом симметричную матрицу В и покажем, что она положительно определенная, если С > 0.

Явное решение системы (17.2) получается следующим образом. Пусть )

Y = - YA (17.6)

- матричное уравнение, сопряженное (см. § 5) к системе (17.1). Тогда убедимся, что

\В + ВА==- j~[YCY] dt = -YCY

-С.

так что матрица В действительно удовлетворяет уравнению (16.2), и, таким образом, совпадает с единственным симметрическим решением этого уравнения, существование которого доказано в теореме XI.

Пусть теперь С > 0. Рассмотрим квадратичную форму

Q(x. t):==xY(t)CY(t)x.

) В самом деле, пусть А. = jx -)- г\, fA < О (ибо А - устойчивая матрица). Тогда

Jg(t)e-Ut < J \g(t)e-"\-e-dt

= / I (О I • е-< • е-" dt f Ке-/dt < оо,

- оо -со

так как величина К = \ g (t) \. е, -co<tO, ограниченная.- Прим. перев.

YCY. Поскольку -X имеет положительную действительную часть, то

J g{t)e-* dt

- оо

существует), а потому имеют смысл все элементы матрицы В.

Так как {YCY) = YCY, то В = В, т, е. В-симметрическая матрица. Рассмотрим далее матрицы

АВ= j AYCYdt = - j YCY dt,

-co -CO

ВЛ= j YCYAdt = - j YCYdt.

-co -oo

Учитывая, что Y-главная матрица решений, получаем