) В самом деле, по свойству скалярного произведения х-у = у-х, т. е. ху = ух, а потому ЬВх = {Вх) b = = хВЬ = хВЬ. Здесь используется также известное правило транспонирования произведения матриц: {АВ) = ВА. - Прим. перев.

Мы попытаемся подобрать функцию Ляпунова в виде

V(x, а) = хВх + j f(a)da. (16.1)

где матрица S > О и В - В. Функция V и все ее частные производные первого порядка непрерывны во всем пространстве х, о. Далее, V представляет собой сумму двух слагаемых: первое положительно при всех х фО, а второе - при всех афО, т. е. их сумма обращается в нуль только при л: = о = 0 и положительна во всех других случаях. Следовательно, функция (16.1)-положительно определенная в пространстве х, о. Предположение (15.6) о характеристике /(о) означает, что

V {х, о)->оо при II л:2 4-=-*-со. Производная функции V в силу системы (15.11) равна Vix, с)=хВх+хВх-{- f(a)a==

= х {АВ + ВА)х - гР (о) + / (о) {ЬВх хВЪ + сх).

Поскольку В==В, мы немедленно получаем):

ЬВх + хВЬ = 2ЬВх = 2 {ВЬУ х. Введем матрицу С:

AB-j-BA== - C; (16.2)

так как

С== - (АВ -\- В А) = - (ВА+ АВ) = С,

то С является матрицей некоторой квадратичной формы. Окончательно

V{x, o) = - xCx - rfHa)+2f(p){Bb+\cx. (16.3)

Таким образом, V - квадратичная форма относительно X,...../(о). Мы хотим сделать квадратичную

) Но не достаточно. Достаточные условия выясняются в§ 18. - Прим. перев.

) Конечно, невырожденном. - Прим. перев.

форму V отрицательно определенной, чтобы удовлетворить условиям теоремы IX, § 13. Для этого необходимо), чтобы, во-первых, V {х, 0) была отрицательно определенной функцией (т. е. чтобы С > 0), и, во-вторых, 1/(0, о)< О при всех а =5 О, а поэтому должно быть г > 0.

§ 17. Соотношение между матрицами В и С

Мы изучим соотношение (16.2). Оно получается следующим образом. Возьмем уравнение, описывающее движение объекта 5 при отсутствии регулятора:

х = Ах, (17.1)

и рассмотрим функцию W {х)= хВх. Производная этой функции в силу системы (17.1) равна

W = x {АВ + ВА)х = - хСх,

где матрица С определяется равенством (16.2). Очевидно, W может быть найдено из формулы (16.3), если положить с = 0, /(а) = 0.

Важным следствием приведенной интерпретации равенства (16.2) является то, что это соотношение сохраняется без изменения при преобразовании координат"). Связь между W к W ш зависит от выбора системы координат: если от координат х перейти к координатам у по формуле х = Ру, то W(x) превратится просто в W (Ру), а W(x) - в W (Ру). Таким образом, соотношение (16.2) сохраняется и для новых матриц Л, В, С.

Снова возвращаясь к соотношению (16.2), легко видеть, что матрица В однозначно определяет матрицу С при любой матрице Л. Это утверждение, однако, не так важно, как обратное. Пусть X,.....Х„ - корни характеристического уравнения матрицы Л, каждый из которых повторен столько раз, какова его кратность.

) При любой матрице А, удовлетворяющей указанному в условии теоремы ограничению. - Прим. перев.

2) Элементы utj матрицы А предполагаются известными. - Прим. перев.

Теорема XI. Если все суммы Ф Q, I, j~

= 1.....и, то симметрическая матрица В однозначно определяется по симметрической матрице С (при этом несущественно, являются эти матрицы положительно определенными или нет). Другими словами, соотношение (16.2) оказывается взаимно однозначным: существует) одна и только одна симметрическая матрица В для каждой симметрической матрицы С, и обратно.

Важный частный случай: матрица А устойчива. Условие теоремы X.-XjO, очевидно, выполнено, и теорема применима.

Доказательство. Выпишем условия симметричности матрицы В и условия равенства соответствующих элементов матриц, стоящих в соотношении (16.2) слева и справа. Тогда мы придем к следующей системе линейных уравнений для определения элементов по заданным числам С;у2):

*«-=V i. k = l,2.....п,

" (17.2)

Zj (flm(*mft + йшй-т) = " C« - i> .

m = l

В силу соображений, высказанных в начале настоящего параграфа, эта система не изменяется при преобразовании координат х = Ру, где Р - невырожденная матрица. После такой замены получаются новые матрицы

А*=:РАР, В = РВР, С = РСР, (17.3)

удовлетворяющие соотношению

Л*5* + ВМ* = -С*. (17.4)

Получающаяся отсюда система (17.2)* для элементов этих матриц отличается от системы (17.2) только звездочками над буквами.