) Неравенство (15.10) получается и непосредственно, если определитель матрицы (15.8) разложить сначала по элементам последнего столбца, затем полученные миноры разложить по элементам последней строки и, наконец, все выражение разделить на М . - Прим. ред.

нений с «-1-1 неизвестными; ее можно однозначно обратить, если матрица ее коэффициентов невырождена. Иными словами, определитель матрицы

А Ь\

с -г) -

должен быть отличен от нуля. Так как матрица А невырождена, то существует обратная матрица А и, следовательно, существует матрица

также невырожденная. Поэтому, для того чтобы определитель матрицы (15.8) был отличен от нуля, достаточно потребовать, чтобы было невырожденным произведение матриц (15.9) и (15.8), которое равно

Е АЬ с -г

Вычисляя определитель этой последней матрицы, мы получаем неравенство)

г+сАЬфО, (15.10)

налагающее ограничения на параметры регулятора: векторы Ь, с а скаляр г. Везде в дальнейшем условие (15.10) мы предполагаем выполненным, так что замена переменных (15.7) допустима.

В новых переменных х, о вместо (15.4) получаем систему

х = Ах f(cs)b.

(15.11)

а =сх - rf{<s).

) Невырожденного. - Прим. перев.

Это основная система, к которой относятся все дальнейшие исследования этой главы.

Заметим здесь сразу, чтобы не возвращаться к этому позже, что условие (15.10) инвариантно относительно преобразования) координат х - Рх*, примененного к системе (15.11). Действительно, после такого преобразования система (15.11) примет вид

[ х*=Я-лЯх + /(а)Я"*,

(15.12)

[ o=cPx*-rf{o),

т. е. матрица А перейдет в Р~АР, вектор b - в Р~Ь, вектор с - в сР, а скаляр г не изменится. Поэтому

сА-Ь-сР{р-А-р) P~b=cA-b.

Прежде чем идти дальше, отметим, что матрица Л будет предполагаться устойчивой. Привлечение этой рабочей гипотезы оправдано следующими соображениями. Положим

/(о) = /гс + /,(о), (15.13)

где А>0 - постоянное число, а функция /i(a) при а->0 является малой более высокого порядка по сравнению с а. Иначе говоря, кривая /(а) имеет в точке а = 0 наклонную (негоризонтальную) касательную. Матрицей линейного приближения системы (15.11) будет тогда

А kb\

С -kr} -

Для асимптотической устойчивости положения равновесия х = а = 0 матрица (15.14) должна быть устойчивой. При k = 0 характеристические корни этой матрицы совпадают с корнями многочлена

А- IE О

, = - ЦА~1Е\=0,

каковыми являются нуль и характеристические корни матрицы А. Но тогда при малом k один из характери-

стических корней матрицы (15.14) будет мал, а остальные п очень близки к характеристическим корням матрицы А. Следовательно, если бы матрица А имела характеристические корни с положительными действительными частями, то этим же свойством обладала бы и матрица (15.14) при достаточно малом k. Для того чтобы избежать усложнений, проще всего считать матрицу А устойчивой).

Очевидно, для того чтобы регулятор обеспечивал устойчивость, на параметр k должно быть наложено еще какое-то дополнительное ограничение снизу. Наконец, хотелось бы обеспечить устойчивость и даже асимптотическую устойчивость для более или менее произвольной характеристики /(а)2) и произвольного начального условия (полная устойчивость). Такая устойчивость носит название абсолютной устойчивости.

Действительно, установленные ниже достаточные условия асимптотической устойчивости гарантируют абсолютную асимптотическую устойчивость, т. е. асимптотическую устойчивость при любых начальных условиях и произвольной характеристике /(а). Иными словами, система будет обладать полной устойчивостью при любой непрерывной функции /(а), удовлетворяющей условиям (15.5) и (15.6).

§ 16. Построение специальной функции Ляпунова

Мы перейдем теперь к построению функции Ляпунова специального вида, введенной А. И. Лурье. Условия, при которых эта функция удовлетворяет требованиям теорем § 13, будут достаточными условиями для полной устойчивости (асимптотической устойчивости в целом) системы (15.11). Нужно, однако, не забывать, что они не являются необходимыми условиями полной устойчивости.

) Случаи, когда некоторые действительные части характеристических корней матрицы А равны нулю, а остальные - отрицательны, являются особыми случаями и требуют специального исследования (см. § 19). - Прим. ред.

2) А не только для линейных характеристик у = fes. - Прим.

ред. 7*