) Или неособая. - Прим. перев.

Алгебраическое дополнение. Пусть через Aj обозначен коэффициент при члене а- в разложении определителя А\, называемый также алгебраическим дополнением элемента aij. Напомним, что алгебраическое дополнение Aji

равно произведению числа (-1)- на определитель матрицы, получающейся из матрицы А вычеркиванием в ней г-й строки и у-го столбца (такой определитель называется минором определителя \А\). Разложение определителя I Л I по г-й строке дает соотношение

aaAu + aiAi+ = (2-2)

Если заменить элементы а, .....in левой части

этого равенства соответственно на aj, aj, ..., ау„, у ф i, то результат получится такой же, как если бы г-я и у-я строки матрицы А были одинаковы. Следовательно,

«/Ий- + + • •. + а,„А„, = 0, /Ф 1. (2.3)

Соотношения (2.2) и (2.3) можно объединить в одну формулу

Если обозначить через матрицу {Аф, то последнее равенство запишется так:

Adl = \A\E. (2.4)

Обратная матрица. Предположим далее, что А\ФО\ в этом случае говорят, что А - невырожденная) ш-трица. Для невырожденной матрицы можно определить

числа ау = j--j-Л;у. Матрица (а) называется обратной

к невырожденной матрице Л и обозначается символом Л~\ таким образом, А - --<Л,. Используя равенство (2.4), мы получаем

АА~ = Е. (2.5:

Как легко видеть, справедливо также равенство

Действительно, так как Л = О, то и А~ имеют обратную матрицу В, т. е. АВ = Е. Но тогда А = ААВ = = ЕВ = В, откуда АА А~В - Е. Поскольку Е - единичная матрица, соотношения (2.5) и (2.6) объясняют, почему матрицу А~ называют „обратной" к матрице А.

Важно помнить, что элементы j-го столбца матрицы А~ есть произведения числа г-]-у на алгебра-

ические дополнения соответствующих элементов j-u строки матрицы А.

Характеристическое уравнение. С квадратной матрицей А связано важное уравнение

f(k) = \A-lE\ = 0 (2.7)

- характеристическое уравнение матрицы А. Это уравнение мы еще не раз встретим в дальнейшем; поэтому полезно записать его в развернутом виде:

(2.6)

12 - X

= 0.

Вычислив этот определитель, получим многочлен относительно X:

(-1)«/(Х) = Х"+с,Х"-+ ... +с„ ,Х + с„ = 0. (2.8)

Характеристическое уравнение (2.7) имеет п корней:

Aj, 2.....Х„; они называются характеристическими

корнями, или собственными значениями матрицы А.

Так как

К---х„ = (-1)Ч = М

(2.9)

то матрица А является вырожденной тогда и только тогда, когда хотя бы. один из ее характеристических корней равен нулю.

Дифференцирование и интегрирование матриц. Пусть снова А - произвольная от X -матрица, и пусть ее элементы aij - функции некоторого переменного f, т. е. aij = aij(t). Тогда мы будем говорить, что и сама матрица А - функция от того же переменного: A = A(t). Если все функции aij(t) имеют производные по t, обозначаемые, как обычно, через aij{t), то мы определим производную A{t) матрицы A{t) равенством

Л(0 = (ау(0).

Точно так же определяется интеграл от матрицы А: t It \

A(t)dt = \ f aiif)dt .

Если рассматривать квадратные матрицы, то справедливы обычные правила дифференцирования суммы и произведения; в частности,

{АВ)= АВ-\-АВ.

При этом обязательно должен сохраняться порядок сомножителей, ибо матрицы A{t)B{t) и ВЦ) A{t), вообще говоря, различны.

§ 3. Векторы и матрицы; квадратичные формы

Общепринятым является отождествление вектора с компонентами х,, .... Хд и « X 1-матрицы

X --

называемой вектор-столбцом. Транспонированную матрицу

X = (Xj, Xj.....х„)

называют вектор-строкой.