Глава И1

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ЛЯПУНОВА К ЗАДАЧЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 15. Общие замечания о задаче автоматического регулирования

Читатель, конечно, представляет себе ту огромную и важную роль, которую играют разного рода сервомеханизмы и регуляторы в современной технике и промышленности.

Наибольший вклад в теорию устойчивости работы таких приборов был внесен учеными советской школы, среди которых прежде всего необходимо назвать А. И. Лурье. Важные результаты в этом направлении принадлежат также А. М. Летову, И. Г. Малкину и В. А. Якубовичу. В частности, В. А. Якубовичу (и параллельно с ним - Р. Э. Бэссу, работа которого осталась неопубликованной) принадлежит изложение вопроса на основе широкого использования теории матриц. Именно этот подход и будет сейчас нами рассмотрен.

Действительную квадратную матрицу А, все характеристические корни которой имеют отрицательные действительные части, мы будем называть, как сейчас это принято, устойчивой матрицей. Этот термин позволяет кратко сформулировать следующее утверждение: система х = Ах асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда матрица А устойчива.

Пусть 5 - реальный объект (механический, электрический, теплотехнический или некоторая их комбинация), причем его состояние в каждый момент времени характеризуется значениями конечного числа параметров и,, и, т, е. значением «-мерного вектора и. Эти параметры могут быть как позиционными, так и кинематическими. Допустим, что изменение состояния объекта 5 с течением времени подчиняется некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей в век--торной записи вид

и = С/(и). (15.1)

) Напомним, что с - вектор-строка; этот вектор получается транспонированием вектора-столбца с, так что су = с • у. Такое обозначение скалярного произведения (см. § 3) применяется в дальнейшем всюду. - Прим. перев.

Конечно, это некоторое дополнительное предположение, но мы должны его сделать, чтобы создать разумную математическую теорию.

Пусть значению и = Ф соответствует состояние равновесия объекта S. Тогда U («") = О, так что точка й" является положением равновесия системы (15.1). Допустим, что в силу практических соображений желательно удерживать объект 5 как можно „ближе" к состоянию й°. Иначе говоря, желательно, чтобы положение равновесия м" было устойчивым. Введем новый вектор у = й-й°. Эта замена переменных приводит систему (15.1) к виду

y = K(y) = t/(«o+y). К(0) = 0. (15.2)

В новых координатах у-у, у„, являющихся компонентами вектора у, положением равновесия становится начало координат у = 0. Считая, что вектор у все время остается малым, можно (при весьма общих предположениях) для решения практических вопросов вместо нелинейной системы (15.2) рассматривать линейное приближение

у = Ау, (15.3)

где А - постоянная матрица. Будем впредь предполагать, что матрица А невырожденная, так что Л( 0.

Для того чтобы удерживать объект 5 вблизи положения равновесия у = 0, используется регулятор. Пусть % - скалярный параметр, характеризующий состояние регулятора, причем условие = 0 означает, что регулятор отключен.

Уравнения движения системы „объект S-f-регулятор" записываются в виде)

y=Ay + i.b,

=/(3). (15.4)

а =су - г%,

где b и с - «-мерные векторы, а г - скаляр. Скалярный параметр а {сигнал) представляет собой промежуточную величину. Скалярная функция /(о) называется характеристикой регулятора. Обычно предполагается, что характеристика обладает следующими свойствами:

а/(а)>0 при 0=0; /(0) = 0.

(15.5)

График характеристики /(а) может иметь достаточно произвольную форму, но обычно это бывает одна из функций, типа изображенных на рис. 26. В дальнейшем, из-

Рис. 26.

бегая излишних усложнений, мы будем, в дополнение к (15.5) считать, что функция /(а) непрерывна и

j /(a)rfa = --oo (15.6)

(интеграл от нее расходится). Это последнее свойство потребуется нам при построении функции Ляпунова.

Удобнее рассматривать задачу в новых переменных х, а. Именно, вместо переменных у, \ введем

х=Ау-\Ь, ог=су - г\. (15.7)

Второе из этих соотношений совпадает с последним уравнением в (15.4).

Ясно, что если у->0 и >0, то неограниченно убывают также X и а. Желательно, чтобы имело место и обратное утверждение: если х->0 и а->0, то у->0 и 5->0; оно означало бы, что устойчивость положения равновесия в новых координатах эквивалентна его устойчивости в первоначальных координатах. Это утверждение справедливо, если из системы (15.7) переменные у и $ однозначно выражаются через х и о. Но (15.7) - алгебраическая система, состоящая из «-j- 1 линейных урав-