§ 14. Устойчивость при постоянных возмущениях 91

Функцию Ляпунова будем искать в виде суммы квадратичной формы и некоторых интегралов; после ряда проб приходим к выражению

V{x.y,z)z-byz + b f f(u)udu-\-{bx-\-ayf =

= {az + byf + ~(bx+ ayf + j [/(«) A

причем

udu.

V{x, y, z) = -a f(y)-j-

Если /(y)> с > - при всех у, то ясно, что все условия теоремы IX выполнены, и система обладает полной устойчивостью. Если же предположить только, что

/(у)>-, то, вообще говоря, не обязательно V->oo

при х2-f-у2--2 -> оо. Однако и в этом случае можно дать отдельное доказательство (аналогичное рассуждениям в примере 6) того, что все решения- ограничены при 0, и снова убедиться в полной устойчивости.

§ 14. Устойчивость по отношению к постоянным возмущениям

Проблема устойчивости по отношению к постоянно действующим возмущениям усиленно изучалась советскими математиками, особенно И. Г. Малкиным, которому принадлежит доказываемая ниже теорема.

Возвратимся к неавтономной системе

к = Х{х. t), (F)

относительно которой сделаны те же предположения, что и ранее); в частности, "(0, t) = 0 при всех tO. Если рассматривать „практические" системы уравнений, которые отражают конкретные физические или техниче-

) См. § 6 и 10. - Прим. перев.

) См. § 9 и 10. - Прим. перев.

ские процессы, то несомненно, что возмущения должны возникать не только вследствие наличия начального отклонения дг(0)тО. Основным источником возмущений будут внешние случайные влияния, например, резкие толчки и т. д. С учетом внешних возмущений исходная система (F) примет несколько модифицированный вид:

х = Х(х, t)-\-Rix, t). (14.1)

При этом относительно функции R (х, t) известно лишь то, что она в некотором смысле мала. Естественно было бы ожидать, что и здесь имеет место некоторая устойчивость.

В этой связи заслуживает внимания следующее предложение, доказанное Малкиным.

Теорема X. Пусть для системы (?) существует функция Ляпунова V{x, t), о которой известно, что в некоторой области Q: х<р при всех tO она удовлетворяет всем требованиям теоремы II об асимптотической устойчивости). Далее, пусть существуют три положительно определенные функции W(x), W,(x), Wix) такие, что в области Q при всех fO выполняются неравенства

Г (х)< 1/(X, t) < W, (X); V(x,t) - W2(X).

Предположим, кроме того, что в области Q все частные производные dV/dXi, 1=1.....п. ограничены при всех tO; иначе говоря, существует постоянная Ж > О такая, что в области Q выполнены неравенства

4 М. /= 1.....п, г>0.

dxi

В этих предположениях тривиальное решение системы (F) устойчиво в следующем смысле: для любого S, О < е < р, существуют такие два числа ;r)j(£)>0 и ;г)2(е)>0, что из неравенств

\\х{0)\\<щ(в); \\Rix, t)\\<:r,2{e.) при всех llx<e«f>0

вытекает неравенство

х(0<е при всех fO.

( = 1

< -(1-&)!J<0.

Следовательно, V убывает вдоль каждой траектории системы (14.1) в „кольце" 5,, а поэтому ни одна из траекторий системы (14.1), начавшихся в области (yjj), не сможет достигнуть сферы Н{г). Это завершает доказя тельство теоремы.

> См. соотношение (10.1). - Прим. перев.

Для доказательства этой теоремы используем равенства О

K = .gradl/ + 4r V, = {X + R).gxadV + .

Здесь V - производная функции Ляпунова V{x, t) в силу системы (F) (т. е. производная по времени от этой функции вдоль траекторий невозмущенной системы), а - производная этой же функции в силу системы (14.1).

Пусть т - наименьшее значение функции W {х) на сфере Н{е): х=е. Вследствие непрерывности функции W]{x) и так как H/j(0) = 0, существует такое положительное число »)](£), что H/j(x)<m в сферической области (yjj): x<y)j. Поэтому V{x, t)<m на сфере /f(Y)j) и V{x, t)y т на сфере Н (е) при всех tb. Пусть р. - положительное наименьшее значение функции йгС-) "2 кольцеобразном множестве 5: % х е, и пусть 0<А<1, причем k достаточно мало отличается от единицы. Возьмем "42)=- и

предположим, что /?(х, 01К12() при всех х из 2 и всех tO. Рассмотрим траекторию системы (14.1), начинающуюся в момент =0 в точке х" области S{ri и допустим, что эта траектория попадает в „кольцо" 5 • Тогда в некоторый момент времени > О мы получим V.< -«2 () +grad