начала координат, и, по теореме VIII, каждое решение стремится к этому положению равновесия при t->oo. Согласно первой теореме Ляпунова положение равновесия устойчиво, и, следовательно, система обладает полной устойчивостью.

Пример 6. В предыдущем примере нам удалось построить функцию Ляпунова V, которая стремится к бесконечности при л;->оо и с ее помощью прийти к заключению, что все решения ограничены при fO. Сейчас мы приведем пример, который показывает, что иногда бывает легче доказать ограниченность решений непосредственно.

Именно, продолжим исследование уравнения Льенара, ослабив предположения относительно функции g(x) и усилив их относительно функции f (х), характеризующей сопротивление (трение):

а) xgix) > О при всех х ф 0;

б) f{x)>0 при всех ХфО;

в)* \Р{х)\ =

• оо при л; -> оо.

Возьмем ту же функцию Ляпунова, что и в предыдущем случае. Поскольку из сделанных предположений не вытекает, что 0{х)->оо при л;->оо, последнее условие теоремы IX, вообще говоря, не выполнено. Поэтому на основании теоремы VIII мы можем сделать заключение только о том, что каждое ограниченное при всех tO решение стремится к началу координат при t->-oo. Таким образом, для установления полной устойчивости нам надо показать, что все решения при сделанных предположениях ограничены при fO.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим на плоскости х, у область 2 (рис. 25), определенную условиями

V{x, У) = ~у-0(х)<1.

[у + £(Аг)Р<а2.

При любых положительных I и а это-ограниченная область. Пусть x{t), y{t) - произвольное решение; выберем числа I п а столь большими, чтобы начальная точка

этого решения оказалась в области 2. Кроме того, мы выберем число а настолько большим, чтобы на участке кривой y-{-F{х) = а, являющемся куском границы области 2, выполнялось неравенство л; > О, а на участке

Рис. 25.

кривой y-\-F{x)= - а, входящем в границу этой области, выполнялось неравенство л; < 0.

Очевидно, решение x{t), y{t) не может выйти из области 2, не пересекаясь с границей этой области. Поэтому оно должно пересечься либо с кривой V = l, либо с кривой y-{-F(х) = а, либо с кривой yF{x) = - а. Поскольку КО, то решение, начинающееся внутри 2, где V < Z, не может пересечь тех участков границы этой области, которые имеют уравнение V = l. Далее, легко подсчитать, что

[у 4-= - 2 [у-f-F (x)U (X).

) Напомним, что на участке y-F{x) = a границы имеем g (х) > О, а на участке y-\-F {х) = - а выполнено обратное неравенство g (х) < 0. - Прим. перев.

На участках кривых у-{- Р(х) - ± а, являющихся частями границы области Q, мы получаем)

Следовательно, решение x(t), y{t) не может покинуть область 2, и потому оно ограничено при всех tO.

Таким образом, при несколько иных предположениях, чем в предыдущем примере, мы снова показали полную устойчивость уравнения Льенара.

Обычно исследование на устойчивость автономных систем второго порядка не вызывает трудностей. Это происходит благодаря двум обстоятельствам. Во-первых, фазовым пространством является плоскость, что дает нам возможность наглядно представить себе качественную картину поведения траекторий системы. Во-вторых, очень легко угадывать влияние сопротивления (трения) в системах с одной степенью свободы.

Теперь мы продемонстрируем применение изложенного метода к системам третьего порядка. Уравнения, аналогичные рассматриваемому ниже в примере 7, изучались В. А. Плиссом и А. И. Огурцовым.

Пример 7. Попытаемся найти условия, которым должна удовлетворять функция /(х), характеризующая сопротивление, чтобы уравнение

х-\- f{x)x-\- ах-\-Ьх = 0

обладало полной устойчивостью. Предполагается, что а и b - положительные постоянные.

Вводя новые переменные у == х и z~x, мы перейдем к эквивалентной системе

х = у,

y=z, (13.18)

( z - fiyz - ay - bx.