) Конечно, получившаяся оценка области асимптотической устойчивости очень груба (особенно по сравнению с рис. 23), однако она позволяет в ряде случаев сделать полезные заключения.- Прим. перев.

точках овала, при t->co приближаются к началу координат.

Таким образом, внутренность построенной кривой является областью асимптотической устойчивости

Полная устойчивость. В случае, когда все пространство является областью асимптотической устойчивости, говорят о полной устойчивости. Общие факты, касающиеся этого понятия, мы и изложим сейчас.

Имеет место следующее аналогичное теореме VI предложение, которое доказывается совершенно так же.

Теорема VIII. Пусть V(х) - скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны при всех X. Допустим, что выполнены следующие условия:

а) V(x)>0 при всех хфО;

б) 1/(л;Х0 во всем пространстве. Обозначим через R множество всех таких точек пространства, в которых V = 0, а через М - максимальное инвариантное множество, содержащееся в R. Тогда каждое решение, остающееся ограниченным при tO, неограниченно приближается к М при t~>-\-oo.

Если сверх того известно, что

\/{х)~>оо при x->oo,

то каждое решение ограничено при tO и, следовательно, все решения неограниченно приближаются к М при t->co. В случае, когда множество М состоит только из начала координат, имеет место полная устойчивость.

Пример 4. Снова рассмотрим систему (13.2), сохранив предположения примера 1 и заменив условия (13.3а) и (13.36) следующими:

gix)F(x)>0 при хфО; (13.8а)

0(x)->oo при \х\->со. (13.86)

Используя ту же самую функцию V, мы легко убедимся, что V->оо при л;2--у2 >оо. Следовательно, каждое решение уравнения (13.1) в этих предположениях ограничено при fO, а множество М, как и раньше, состоит только из начала координат. Таким образом, условия (13.8а) и (13.86) обеспечивают полную устойчивость системы (13.2).

Часто оказывается, что более простые и сильные результаты получаются, если отдельно доказать ограниченность решений (см., например, § 24).

Действительно, для того чтобы установить полную устойчивость,, нам необходимо убедиться, что каждое решение ограничено при fO, а множество М состоит только из начала координат. Предположим, что V(x)-*oo

при л;->-оо и что 1(л;)<0 при хфО. Тогда несомненно, что множество М состоит из начала координат и нетрудно убедиться, что каждое решение ограничено при fO. Пусть x{t) - решение, начинающееся в произвольной точке л;". Тогда найдется такое достаточно большое число г, что V(x)yV(x), как только x>r. Поскольку V(x(t)) убывает с ростом t, то л;(01Кг для всех tO, т. е. каждое решение ограничено. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема IX. Пусть V(х) - скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны при всех X. Допустим, что выполнены следующие условия:

а) У{х)>0 при всех х ф 0:

б)1/(л;)<0 при всех х Ф 0;

в) V{x)~*co при xj->oo.

Тогда система (13.1) обладает полной устойчивостью.

Во многих конкретных задачах удается построить функцию Ляпунова V(х), удовлетворяющую условиям теоремы IX. Примерам такого рода посвящена следующая глава. Однако часто бывает легче найти такую функцию Ляпунова, производная которой в силу системы (FA) лишь

неположительна, а затем использовать теорему VIII. Следующий пример является простой иллюстрацией этого.

Пример 5. Относительно функций fug, входящих в уравнение Льенара

x-\-f(x)x-g(x) = 0, (13.14)

мы предположим, что

а) xg(x)>0 при всех х Ф 0;

б) f{x)>0 при всех ХфО;

в) 0(x)= Jg-($)d$->oo при д;->оо.

Эти предположения имеют следующий физический смысл:

а) потенциальная энергия О (л;) - положительно определенная функция координаты, имеющая при х = 0 минимум;

б) сопротивление всегда положительно;

в) потенциальная энергия неограниченно растет с ростом \х\.

Вместо исходного уравнения рассмотрим эквивалентную ему систему

j х = у.

1 у = - g{x) - f{x)y. В качестве функции Ляпунова возьмем, как и ранее, У{х, у) = 1у2 + о(л;).

имеющую смысл полной энергии при отсутствии сопротивления. Непосредственные вычисления дают

У{х, у) = -/(л;)у2<о.

Очевидно, что при л;2--у2->оо будет V{x, у)->оо, а потому все решения ограничены при >-0. Далее, V обращается в нуль только на осях координат, и ясно, что ни одно решение, за исключением положения равновесия в начале координат, не остается на этих осях при всех tO. Таким образом, множество 1Л состоит из