тельно изображены на рис. 22) Заштрихованная площадь является областью асимптотической устойчивости.

Рис. 22.

Перейдем к определению этой области Положим V(x, У) = у+г>х2+х3;

тогда

К = -ау2.

) Начало координат считается устойчивым фокусом, случай, когда начало координат - устойчивый узел, приводит к аналогичной картине (см рис. 23). - Прим. перев.

Отсюда видно, что всюду вне оси абсцисс 1 < О, т. е. множество R лежит на прямой у = 0 Так как на оси абсцисс всюду вне начала координат) производная

dy - 2bx - 3x2

обращается в бесконечность, то инвариантное множество может состоять только из точек О и Р.

Рис. 23

Теперь мы выберем область Q[- множество тех точек плоскости, отличных от Р, в которых выполнено неравенство V < / Для этого мы рассмотрим семейство кривых

V(x, y) = + 6x2 + x3 = A

и определим число k = l так, чтобы соответствующая кривая проходила через точку Р:

I) и точки Р. -Прим. перев. 6*

Построим кривую V{x, у) = 1:

у±\/ ~b - 2bx - 2x на плоскости х, у (рис. 24). Поскольку

Рис. 24.

(у2) - 2(2;»х+3д;2).

сразу получаем все экстремальные точки этой кривой:

8 27

Х2 = ~-Ь. У2 = 0

(первая из них дает максимум для у, а вторая - минимум). При больших X > О кривая не определена, поскольку у2 делается отрицательным. Внутренность получившейся кривой (заштрихованная на рис. 24) и является областью 2j. Множество R представляет собой интервал PQ оси абсцисс, а множество М состоит из единственной точки О. Следовательно, все траектории, начинающиеся во внутренних