эквивалентно системе второго порядка

х = у - е у = - х.

(13.5)

Единственное положение равновесия - начало координат; оно является неустойчивым узлом или фокусом в зависимости от величины параметра г. Известно также), что система (13.5) имеет единственный предельный цикл 8, который окружает начало координат.

Если заменить t на -t, то сами траектории не изменятся, но направление движения по ним станет противоположным. В частности, предельный цикл 8 останется тем же самым, а начало координат будет уже асимптотически устойчивым положением равновесия. Очевидно, что областью асимптотической устойчивости как раз является область, заключенная внутри замкнутой кривой 8. Однако этот вывод не имеет большой ценности, поскольку фактическое местоположение предельного цикла 8 неизвестно.

Интересные результаты получатся, если к уравнению (13.4) применить развитую выше общую теорию. Заметим, что вместо того, чтобы заменять t на -t, мы можем просто считать е < О, получая тот же результат. Будем поэтому предполагать, что в (13.4) и (13.5) параметр е отрицателен.

) См., например. Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, ИЛ, 1952. - Прим. пере$.

имеет конечное значение, а потому на этой оси не может лежать дуга траектории: инвариантным множеством является только точка О. Следовательно, любое решение, начинающееся во внутренней точке области 2;, приближается при ->оо к началу координат. Иначе говоря, начало координат асимптотически устойчиво, а 2; представляет собой „меру" асимптотической устойчивости.

Пример 2. Уравнение Ван-дер-Поля

x+s(jc2-l)x-f-jc = 0, s>0, (13.4)

V = - sx

Так как 1/-<0 при л;2<:3, то возьмем а = Уз. Далее,

выберем число I так, чтобы неравенство 0(л;) = - </

было равносильно неравенству х < а; для этого достаточно положить / = 32- Таким образом, круг л;2-)-у2<3 содержится в области асимптотической устойчивости. Иными словами, предельный цикл 8 лежит при любом г вне круга радиуса /3 с центром в начале координат. Диаметр предельного цикла никогда не меньше 21/3; этот хорошо известный результат справедлив при всех значениях параметра е.

Отметим, между прочим, что проведенное нами рассуждение сразу показывает асимптотическую устойчивость начала координат для системы (13.5) при е < 0. Этот факт не является в общем случае уравнения (13.1) тривиальным, поскольку линейные члены в системе (13.2) неизвестны.

Пример 3. Возьмем теперь уравнение

х + ах+ 2Ьх-\3x = 0. о > О, 1>>0; (13.6) оно эквивалентно системе х = у,

(13.7)

у = - 2Ьх - ау - Зх,

рассматривать которую удобнее, чем непосредственно само уравнение. Это уравнение не подпадает) под тип (13.1),

) Поскольку функция g {X) = 2Ьх-j-Зх не является нечетной. - Прим. перев.

Сравнивая уравнения (13.4) и (13.1), мы получаем /(х) = е(х2-1), gix)x,

Р(х) = г\-х), 0(х) = ~.

Далее, следуя примеру 1, получаем

V(x. y)== + 0(x) = i±,

рассмотренный в примере 1, однако никаких затруднений при использовании теоремы VI у нас не возникнет.

Положений равновесия у системы (13.7) два: в начале

координат О и в точке = "1-

Характеристи-

ческие корни X, и Xj матрицы линейного приближения (соответствующей первому положению равновесия) определяются из уравнения

iL a xh- + « + 2 = 0-

На основании теоремы Виета

Х,--).2 = -а < О, Х,Х2==2&>0,

и, следовательно, собственные значения либо действительные и отрицательные, либо комплексно сопряженные с отрицательными действительными частями. Таким образом, положение равновесия О асимптотически устойчиво.

Для того чтобы изучить положение равновесия Р, перенесем начало координат в точку Р, т. е. сделаем замену

х~\- jl) = X*, X = X* - b.

В новых координатах система (13.7) запишется так: х* = у.

у = - ау

Характеристические корни Xi и Х2 теперь определяются из уравнения

Поскольку Х*Х2 = - 2» < о, действительные корни имеют противоположные знаки. Таким образом, положение равно весия Р является седлом. Траектории системы приблизи-