) В силу инвариантности Г"*" через каждую точку из Г* проходит траектория, целиком лежащая в Г"*". Вдоль этой траектории V = const = /о и потому = 0. - Прим. ред.

При дополнительном условии V(0) = 0. - Прим. ред.

решение x(t) системы (FA), начинающееся в области 2j, неограниченно приближается к М при t->co.

Доказательство. Из предположений о функции V следует, что V(t) = V(x(t)) при ->сх) не возрастает и что она неотрицательна внутри Qj. Следовательно, каждое решение x(t), начинающееся в какой-либо точке области должно все время оставаться в этой области. Кроме того, существует lim V{t)==lQ, причем Iq<.1. В силу соображе-

НИИ непрерывности заключаем, что равенство V {х) - 1 выполняется на ш-предельном множестве траектории х {t). Но отсюда вытекает, что множество целиком лежит внутри области Q, и на нем 1/ = 0). Поэтому лежит в множестве R, а поскольку - инвариантное множество, то оно лежит даже в множестве М. Решение x{t) все время остается в области 2j, и поэтому оно ограничено при всех fO; на основании сформулированной выше леммы x{t)->M при ->-f-oo.

С помощью теоремы устойчивости Ляпунова на основании условий а) и б) заключаем 2), что начало координат устойчиво. Чтобы доказать его асимптотическую устойчивость, остается лишь показать, что множество М состоит только из начала координат, т. е. что ни одно решение, за исключением тривиального решения х = 0, не может оставаться в множестве М при всех ;>0. Это будет именно так, если, например, V - отрицательно определенная функция в области 2; тогда множеству R, а следовательно, и множеству М принадлежит только начало координат. Мы сформулируем это утверждение отдельно.

Теорема VII. Если сохранить все предположения теоремы VI, заменив условие б) условием б)* V{x)<,0 при всех хфО в области Qj, то начало координат-асимптотически устойчивое положение равновесия системы (FA) и каждое

) На самом деле приводимые рассуждения и результаты справедливы и в более общем случае. - Прим. перев. 2) Сравните с примером 1, § 12. - Прим. перев.

решение, начинающееся в области Qj, будет неограниченно приближаться к началу координат при t->oo.

(Последнее утверждение является дополнением к теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости.)

Пример 1. Интересны приложения этих теорем к так называемому уравнению Льенара

x + f{x)x + g{x)0, (13.1)

которое является обобщением уравнения электрического контура (см. пример 5, § 12). Это уравнение интенсивно изучалось; ему посвящено большое количество работ, которые продолжают выходить и до сих пор. В этих многочисленных исследованиях делались самые разнообразные предположения. Однако, так как мы не стремимся к большой общности результатов, мы рассмотрим здесь лишь самые простые случаи, когда на функции fug наложены довольно сильные ограничения.

Для упрощения задачи предположим, что / и - многочлены), причем /-четная функция, а g-нечетная. Более того, мы допустим 2), что график функции g(x) более или менее близок к прямой линии, проходящей через начало координат, и монотонно возрастает с ростом х. Заметим, что этот частный случай уравнения Льенара 13.1) полностью охватывает уравнение Ван-дер-Поля (см. пример 2).

Для дальнейшего удобно ввести функции

F(x) = f f(x)dx, 0(x)=f gix)dx.

Очевидно, что функция F(x) - нечетная, Q(x) - четная и £(0) = G(0) = 0.

Вместо уравнения (13.1) рассмотрим эквивалентную ему систему уравнений

x = y-F(x),

(13.2)

) Заметим, что, в силу предположений о функции g {х), функция О(х)>0 при хфЬ. - Прим. перев.

Поскольку F{x) и G{x)-многочлены, при любых значениях л; и у выполнены условия теоремы существования и единственности: через каждую точку плоскости проходит одна и только одна траектория системы. В силу сделанных допущений уравнения

y-Fix) = Q,

g(x) = 0

имеют общее решение х = у = 0, т. е. начало координат- положение равновесия.

В качестве функции Ляпунова возьмем функцию

V(x, y) = y-\-G{x).

Если /=0, т. е. если в системе нет (положительного или отрицательного) сопротивления, то эта функция имеет смысл полной энергии системы. Немедленно находим производную функции V в силу системы (13.2):

V = -g{x)F(x).

Пусть существуют положительные константы а п I такие, что выполняются следующие два условия:

g(x)F{x)>0 при л:<а, хфО; (13.3а) G{x)<.l только при jc<a. (13.36)

Тогда в области 2j, т. е. на множестве тех точек плоскости, в которых справедливо неравенство V(x, у) </, выполняется теорема VI. Действительно, из (13.36) и из неравенства V< 1 следует), что x<a, у2 < 2/, так что область Ql ограничена. Используя (13.3а), заключаем, что в этой области V-O. Далее, 1 = 0 в тех и только тех точках области 2j, в которых х = 0, т. е. множество R представляет собой ось 0Y. Но во всех точках оси OY, отличных от начала координат О, угловой коэффициент

dy -g(x) dx y - F {X)