) С понятием асимптотической устойчивости в целом мы уже встречались в § 7. - Прим. перев.

) Под областью асимптотической устойчивости подразумевается область, содержащая начало координат и обладающая тем свойством, что все движения, начинающиеся в этой области, стремятся при i -> -f- оо к началу координат. - Прим. ред.

3) В оригинале positive limiting set.- Прим. перев.

*) Предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория, соответствующая периодическому решению системы (FA). - Прим. перев.

или, как мы будем говорить, полная устойчивость Если нет возможности обеспечить полную устойчивость, то приходится довольствоваться уверенностью, что система стремится к положению равновесия, когда возмущения не слишком велики. При этом необходимо иметь некоторые сведения относительно величины области асимптотической устойчивости 2).

Здесь нужно обратить внимание на фундаментальное различие между линейными и нелинейными системами: для определения практической устойчивости линейное приближение совершенно недостаточно. В линейных системах всегда бывает только полная устойчивость, тогда как только в нелинейных системах она может не быть таковой. Другими словами, для нахождения возможных границ области асимптотической устойчивости необходимо использовать нелинейность.

В настоящем параграфе мы приведем некоторые теоремы, служащие для определения области асимптотической устойчивости. Однако прежде чем переходить к ним, мы введем два предварительных понятия. Рассмотрим обычную автономную систему

х = Х{х), Л(0) = 0. (FA)

Предельные множества. Это весьма важное понятие было введено Г. Д. Биркгофом. Грубо говоря, если л; (О -решение системы (FA), то его ш-предельным множеством) является все то, к чему кривая x(t) приближается при неограниченном возрастании времени. Например, если решение x(t) представляет собой спираль, навивающуюся на предельный цикл) 8, то 8 является (й-предельным множеством для этого решения; если реше-

ние стремится к точке А, то его ш-предельное множество состоит из этой точки.

Более строго, точка р принадлежит ш-предельному множеству Г"*" решения x{t) системы (FA), если существует такая неограниченно возрастающая последовательность моментов времени i„, t->co при и->оо, что

Рис. 21.

x(t„)->p при и->оо. Если решение х (t) ограничено, то оно при t->co стремится к своему ш-предельному множеству Г"""; другими словами, для любого s > О существует такой момент времени (е, x(t)), что для всех > Г решение x(t) целиком лежит в окрестности (У(е) множества) (рис. 21).

а-предельное множество") решения x(t) определяется точно так же, если только t заменить на -t. Однако это понятие в дальнейшем не используется.

) е-окрестность 1/ (е) множества М определяется так: точка q принадлежит этой окрестности, если в множестве М найдется такая точка р, что \\p - q\l<- -Прим. перев.

) В оригинале negative limiting set. - Прим. перев.

) Последнее утверждение означает следующее. Для любого £ > О существует Г = Г (е) > О такое, что при всех i > Г точка X (t) принадлежит е-окрестности множества М (относительно определения £-окрестности см. примечание на стр. 74). - Прим. ред.

2) Точнее, открытое множество (см. § 4). Предполагается, что Qi состоит из всех точек, где V (х) < I. - Прим. ред.

Инвариантное множество. Множество О называется инвариантным, когда оно обладает следующим свойством: если точка Xq принадлежит множеству G, то и вся траектория (т. е. как положительная, так и отрицательная полутраектории), проходящая через эту точку, целиком лежит в множестве О. Например, замкнутая траектория является инвариантным множеством; совокупность траекторий, проходящих через все точки некоторой дуги, также представляет собой инвариантное множество.

Отметим (без доказательства) важное свойство. Если решение x{t) ограничено при tO, то его (л-предель-ное множество Г+ непусто, компактно и является инвариантным множеством.

Из определения ш-предельного множества немедленно следует такая лемма.

Лемма. Если решение x{t) ограничено при tO и если множество М содержит w-предельное множество Г то x(t) при t->co неограниченно приближается к .нножеству) М.

После этих предварительных рассмотрений мы можем установить основные предложения, позволяющие расширить и уточнить критерии асимптотической устойчивости.

Теорема VI. Пусть V (х) - скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны при всех X. Обозначим через 2j область), где V{x)<l. Допустим, что эта область ограничена и что внутри нее выполнены условия

а) V(x)>() при X Ф 0;

б) V{x)0.

Пусть R - множество всех точек области в которых V(x)=0, а М - максимальное инвариантное множество, содержащееся в R. Тогда каждое