) Для консервативных систем кинетическая энергия является квадратичной формой от импульсов с коэффициентами,

зависящими от координат q., т. е. Т- ijiv 4„)PiPp

Авторы же рассматривают весьма частный случай, когда все коэффициенты aij - постоянные.

Приводимое здесь доказательство теоремы Лагранжа сохраняет свою силу и для общего случая, когда Т= T(q, р). Однако при доказательстве дальнейших теорем существенно используется ограничение авторов. - Прим. ред.

от рЕсли потенциальная энергия имеет изолированный минимум при д = 0, то W - положительно определенная функция д. Следовательно, функция Н является положительно определенной, и, поскольку Я = О, положение равновесия = О, == О устойчиво. Это - хорошо известная теорема Лагранжа, впервые сформулированная Лагран-жем и доказанная Дирихле: состояние консервативной системы, в котором потенциальная энергая имеет изолированный минимум, является устойчивым положением равновесия.

Допустим теперь, что Н-аналитическая функция; в этом случае)

Т{р):=Т2{р),

м(<7)=и.(<7)+и.+1(<7)+

здесь Tip) - положительно определенная квадратичная форма с постоянными коэффициентами, а Wj{g) - члены У-й степени относительно д. Пусть И(0)=0 - изолированный максимум потенциальной энергии; тогда W{g) - отрицательно определенная форма k-Pi степени. Определим функцию

V = p д=рдг,

ее полная производная в силу системы (12.8) равна

V = 27-2(р)-kW,(g)-(k-\-l)W,,(g) .... Поскольку члены 272 - Ч, являющиеся доминирующими

) Эта теорема доказана авторами при следующих ограничениях: 1) (q) - отрицательно определенная форма; 2) кинетическая энергия 7" не зависит явно от q (см. примечание на стр. 70). Первое условие имеется у Ляпунова, а второе уже является излишним (т. е. теорема справедлива без второго условия,, но доказательство должно быть иным). - Прим. ред.

2) Напомним что Т{р)-\- W {q) = H(p, ?) < О в области Qi. Поскольку T(p)>Q, то W {g)<,(). Предполагается, что при этом и Wk (g) < 0. - Прим. перев.

вблизи начала координат, составляют положительно определенную функцию, то и V - положительно определенная функция. Функция Ляпунова V - скалярное произведение векторов р н q, и потому она может принимать положительные значения в произвольно малой окрестности начала координат. Следовательно, по теореме 111, начало координат неустойчиво. Таким образом, установлена следующая теорема Ляпунова): состояние консервативной системы, в которой потенциальная энергия имеет изолированный максимум, является неустойчивым положением равновесия.

Эта теорема Ляпунова была обобщена Н. Г. Четаевым. Предположим только, что W{0) = 0 не является минимумом потенциальной энергии. Следовательно, найдутся такие сколь угодно малые q, для которых W(q)0. Так как ЖО, q)=W(q), то существуют сколь угодно близкие к началу координат точки {р, q}, где Н(р, О для всех достаточно малых р. В произвольно малой окрестности начала координат имеются поэтому такие точки {p,q}. что одновременно

p-q>0, -H(p.q)>0.

Пусть Q - некоторая окрестность начала координат, а Qj-множество точек окрестности Q, в которых выполняются оба только что указанных неравенства; очевидно, что начало координат принадлежит границе области Qj. Положим V=-{р q)H. Поскольку Н = 0, то, как и в рассмотренном раньше случае,

V = - l2T2{p) - kW{q)+ ...]Н(р. q).

Мы выберем окрестность 2 достаточно малой; так как Т2{Р)>< то) U/ft(9)<0 внутри Qj. Следовательно, при

) В такой общей формулировке теорема неверна. У авторов она доказана для аналитической потенциальной энергии и двух дополнительных предположениях: 1) 7"= Т{р) не зависит явно от q (см. примечание на стр. 70) к 2) ю, w (q) < О следует Wt (q) < 0. - Прим. ред.

достаточно малой 2 члены в квадратных скобках положительны внутри 2,, а потому в этой области производная V положительна. В точках границы области 2,, лежащих внутри 2, либо p-q=0, либо Н(р, q) = 0, т. е. V = О во всех таких точках. Все условия теоремы V выполнены: положение равновесия неустойчиво. Положение равновесия консервативной системы, в котором потенциальная энергия не имеет минимума, неустойчиво

§ 13. Область асимптотической устойчивости

Очевидно, что в приложениях асимптотическая устойчивость более важна, чем простая устойчивость. Если, скажем, требуется поддерживать определенную температуру Т в некоторой системе, то понятно желание, чтобы не только поддерживалась некоторая температура, не слишком сильно отличающаяся от Т, но и чтобы малые отклонения температуры со временем исчезали. Сосредоточим теперь наше внимание на асимптотической устойчивости.

Здесь возникают и другие практические соображения. Предположим, что некоторый электрический прибор рассчитан на ток в 127 вольт. Прибор устроен так, что малые отклонения напряжения не существенны. Однако как велики могут быть допустимые отклонения? Система может быть асимптотически устойчивой, однако может перестать нормально функционировать уже при отклонениях напряжения, например, свыше одного милливольта. Итак, эта система, теоретически асимптотически устойчивая, оказывается на практике неустойчивой. Асимптотическая устойчивость имела бы практический смысл, если бы были допустимы отклонения, скажем, в несколько вольт.

Таким образом, возникает потребность в уточнении понятия асимптотической устойчивости. Желательным качеством является асимптотическая устойчивость в целом