часто встречается при изучении движения твердого тела; А, В, а, b - постоянные. Эта система имеет три положения равновесия:

(здесь а, р, -f-произвольные постоянные).

а) Исследование положения равновесия Еу Прежде всего, с помощью замены переменных

yj = Xi-а, У2 = -2. Уг = Хз - Ь

перенесем положение равновесия в начало координат. Система (12.7) в новых координатах примет вид

У1 = А {Ь -а) уАуУу

У2 = В{у-{-)У-,

Уз = (>1 + °)У2-Характеристическое уравнение линейного приближения - \ А{Ь-а) О О -1 аВ О а -X

= X(a2fi -).2) = 0

имеет корни О, a]/fi, -аУ~В- Допустим, что аФО, так как в противном случае точка £, совпадает с точкой £3. Если 5 > О, то среди трех корней имеется один положительный и положение равновесия Е неустойчиво. Если же fi < О, то мы имеем критический случай: один корень нулевой, а два других - сопряженные чисто мнимые. В этом случае нельзя получить каких-либо заключений из рассмотрения только линейного приближения; мы должны принять во внимание и нелинейные члены. К счастью, имеются два очевидных первых интеграла: V, = yl-Byl = c,,

V2 = (yi + c,f - A(y-{-b-af==C2.

Так как fi < О, то 1/j - положительно определенная функция от у II Уз. что означает устойчивость по этим двум

) То есть начальное значение произвольное, а ч - достаточно малые. ~ Прим. перев.

переменным: если первоначально " Уз злы), то они и останутся малыми. Далее, с помощью другого первого интеграла lg убедимся, что £, устойчиво: если у,, Уд» Уз в начальный момент все малы, то они должны оставаться малыми все время.

Таким образом, мы показали, что положение равновесия £i устойчиво, если 5 < О, и неустойчиво, если 5 > 0.

б) Исследование положения равновесия Е. Благодаря симметрии мы немедленно убеждаемся, что положение равновесия Е устойчиво, если Л < О, и неустойчиво, если Л > 0.

в) Исследование положения равновесия Еу Замена переменных

y, = Xi, У2 = -*2> >з = -*з -Т

превращает положение равновесия в начало координат, а система (12.7) принимает вид

у, = Лу2(>з -« + Т). У2 = 5у1(Уз -6-Ьт).

Уз=У\У2-

Характеристическое уравнение ее линейного приближения таково:

-). Л (-( - а) О В(т - Ь) -X О

О О -X

== ).[Х2 Л5(т-а)(т-*)1 = 0.

Если AB(i-a)(i - 6)>0, то имеется положительный корень, а тогда положение равновесия £3 неустойчиво. Если же ле (7 - а) (7 - 6)< О, то мы имеем критический случай: один корень нулевой, а два других - сопряжен-

) Подробнее об обобщенных координатах и методах аналитической механики см. Г а н т м а х е р Ф. Р., Лекции по аналитической механике, Физматгиз, 1Ш). - Прим. перев.

ные чисто мнимые; линейное приближение не дает информации об устойчивости. Первым интегралом является

V:=-J(i-b)y-\-A(i-a)yl+AB(a - b)yl=.c.

Если все коэффициенты этого выражения имеют одинаковые знаки, так что функция V положительно или отрицательно определенная, то положение равновесия £3 устойчиво.

Таким образом, мы показали, что положение равновесия £3 устойчиво, если одновременно АВ(i - a)(- - bXO и А (а--6) < О, и неустойчиво, когда произведение - 6)>0. Если же ЛЛС - а)(-( - 6)<0, но Л (а-6) (if-6) > О, то предложенный способ не позволяет сделать какое-либо заключение об устойчивости положения равновесия £3.

Пример 9. Рассмотрим консервативную колебательную систему с п степенями свободы. Состояние системы в любой момент времени может быть описано с помощью п обобщенных координат .....Яп обобщенных импульсов .....р„. Тогда закон движения системы в обобщенных координатах q, р запишется в векторной форме при помощи гамильтоновой функции Н{р, q) следующим образом

• дН дН

=-дГ P - W

Положениям равновесия системы соответствуют такие точки 2я-мерного пространства q, р, в которых обе частные производные первого порядка функции Гамильтона обращаются в нуль.

Пусть начало координат - изолированное положение равновесия; аддитивную постоянную в функции Н мы выберем так, чтобы Я (О, 0) = 0. В обычных динамических системах функция Н имеет смысл полной энергии и ее можно представить в виде Н{р, q) = T {p)-\-W (q), где Т - кинетическая, а W - потенциальная энергия. Кинетическая энергия Т - положительно определенная функция