Сложение матриц. Если А-(аи) и B = {bij) - две /к X «-матрицы, то их суммой А-\-В называется m X га-матрица {йц-х bij), т. е.

«12 + 2

«21 + *21 22 +

«1« + Д

«2п + *2п

"«2

(одинаково расположенные элементы складываются).

Произведение двух мат-риц. Если Л = (ау) является /к X «-матрицей, а B - {bij) является « X/-матрицей (т. е. матрица В имеет столько же строк, сколько столбцов имеет матрица А), то их произведением АВ называется /к X/-матрица C==(Cij), элементы которой определяются равенствами

Cij = ацЬи + air.b2j + ... + а,-А/ 1=1.....т. у= 1.....р,

или короче)

/=1.....т. у=1.....jt7.

ft= 1

Умножение матрицы на число. Если k - некоторое (действительное или комплексное) число, то произведение кА означает матрицу {kaij): все элементы матрицы А умножаются на к.

Транспонирование матрицы. Если в матрице А поменять ролями строки и столбцы, то получившаяся п X /к-матрица называется транспонированной и обозначается символом А:

«22

«2П

) Эту формулу легко запомнить, если заметить, что элемент cij матрицы С, стоящий на пересечении /-й строки с у-м столбцом, является скалярным произведением /-й вектор-строки матрицы А на /-й вектор-столбец матрицы В. - Прим. перев.

Пример. Возьмем две матрицы

тогда)

А-\В =

-4 /4

V2 ( 6Л =

-2 6

АВ =

V-28

28 -73

-24 -30 -36

Квадратные матрицы. Эти матрицы представляют особый интерес. Матрица (2.1) называется квадратной, если она имеет одинаковое число строк и столбцов: т - п. Тогда говорят, что это матрица порядка п. Квадратные матрицы одного и того же порядка всегда можно складывать и перемножать между собой.

Заслуживают внимания квадратные матрицы вида

«2

где все невыписанные элементы равны нулю. Мы назовем матрицу такого вида диагональной и будем обозначать ее символом dlag(aj, а„).

Важнейшей диагональной матрицей является единичная матрица порядка п: £„ = dlag(l.....1). Если порядок п известен, то такую матрицу часто обозначают просто через Е. Если А - произвольная квадратная матрица порядка п, то справедливы равенства ЕА - АЕ = А; именно отсюда и произошел сам термин „единичная матрица". Заметим также, что

kE = diag(k, .... k); (kE)A = A(kE) = kA.

1) Заметим, что произведение АВ для матриц этого примера вообще не определено. - Прим. перев.

В различных формулах часто бывает полезен символ Кронекера 8, который определяется следующим образом:

10, если / Ф J,

[1, если i=J.

При помощи этого символа единичную матрицу можно записать так:

Предостережение. Возьмем две квадратные матрицы А а В одного порядка. Для них определены оба прозведения АВ и ВА, которые, вообще говоря, не равны друг другу. Так, если

/1 2\ /2 1

\г 4J \4 3 то

10 7\ /58

= t,22 15;= = Vi3 20

Определители. Пусть А - квадратная матрица порядка п. Как известно из алгебры, с этой матрицей можно связать некоторое число - ее определитель, который обозначается через Л .

Напомним некоторые свойства определителей.

а) Матрица А и транспонированная матрица А имеют один и тот же определитель: Л = Л .

б) Если поменять местами какие-нибудь две строки (или два столбца) матрицы, то ее определитель изменит знак. Следовательно, если две строки (или два столбца) матрицы одинаковы, то ее определитель равен нулю.

в) Если умножить все элементы одной строки (или одного столбца) матрицы на число к, то ее определитель умножится на это же число к.

г) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей: АВ\ = Л ] 5.

Заметим также, что diag(aj.....а„) == aiOj-• • а„.

и, следовательно, 1 £ 1 = 1.

О Иногда определитель матрицы А называют детерминантом и обозначают символом det А. - Прим. перев.