) См. пример 6, -Прим. перев.

2) Напомним, что а - коэффициент при младшем члене ряда F (у). - Прим. перев.

Q - постоянная матрица, характеристические корни которой те же, что и у матрицы Р, за исключением нуля, так что все характеристические корни матрицы Q имеют отрицательные действительные части;

Я (у) - степенной ряд, начинающийся с членов степени A/-f-1.

Следующий этап доказательства заключается в применении теорем Ляпунова. Сделаем предварительно некоторые замечания, касающиеся линейной системы

z = Qz. (12.5)

Поскольку характеристические корни матрицы Q различны и все имеют отрицательные действительные части, для этой системы можно построить ) функцию Ляпунова W(z). Как уже было выяснено, эта функция представляет собой положительно определенную квадратичную форму, полная производная W = U {z) которой по времени в силу системы (12.5) является отрицательно определенной функцией. Так как

и = (dW/dz) Qz grad W Qz,

TO функция и также является квадратичной формой. Эти свойства производной функции Ляпунова системы (12.5) мы сразу же используем.

Обратимся теперь снова к вопросу об устойчивости системы (12.4); при этом разберем отдельно случаи, когда число N четное и нечетное.

N четное. Определим функцию 2)

V(y, z)=y - aW(z). (12.6)

Непосредственно находим, что вдоль траектории системы (12.4)

V = y - aW = a{y - U]-{- ....

где под многоточием здесь и ниже понимаются члены, малые по сравнению с выписанным (например, у+Ч yz", z

) Для того чтобы формально применить теорему III, надо было бы в качестве функции Ляпунова взять sign а-К (у, г), где V - определенная в (12,6) функция. - Яриж. перев.

и т. д.). Таким образом, вблизи начала координат знак производной V совпадает со знаком выражения а {у - U], т. е. со знаком коэффициента а\ В то же время в произвольно малой окрестности начала координат функция V ие является знакоопределенной (например, при г = 0 знак функции V совпадает со знаком у). Следовательно, в сколь угодно малой окрестности начала координат функции V и V могут иметь один и тот же знак; на основании теоремы III начало координат неустойчиво ). N нечетное. В этом случае возьмем

V(y. z) = -aWiz),

так что

V:=yy-aW = a {y+i - f/} -f

Вблизи начала координат функция V снова имеет знак коэффициента а. Если а > О, то в достаточно малой окрестности начала координат [сама точка (О, 0) исключается] V > 0; кроме того, сколь угодно близко от начала координат найдутся точки, в которых также и 1/ > 0. На основании теоремы III убеждаемся, что начало координат неустойчиво. Если, наоборот, а < О, то вблизи начала координат имеем V > О, 1/ < 0. А это, согласно теореме II, означает асимптотическую устойчивость начала координат.

Суммируя сказанное, приходим к следующему результату Ляпунова. Для устойчивости положения равновесия системы (12.4) в начале координат необходимо и достаточно, чтобы число N было нечетно и коэффициент а отрицателен.

II. Матрица Р имеет одну пару чисто мнимых характеристических корней. Полное исследование этого случая, гораздо более сложного, чем предыдущий, было осуществлено Ляпуновым. Мы же здесь лишь проиллюстрируем возникающую в этом случае ситуацию на примере системы второго порядка.

Именно, рассмотрим систему

j x = y - xf(x, у), 1 y = - x - yf{x, у),

где функция f(x, у) разлагается в сходящийся степенной ряд и / (О, 0) = 0. Характеристическими корнями матрицы Р

в этом случае оказываются ±/. Полагая V ={х-\-У>

находим

V = -ix-\-y)f(x, у).

Отсюда: если / О в произвольно малой окрестности начала координат, то начало координат устойчиво; если /-положительно определенная функция в некоторой окрестности начала координат, то начало координат асимптотически устойчиво; если / < О в произвольно малой окрестности начала

координат, то начало координат неустойчиво. Разобранный нами пример иллюстрирует также следующий важный факт: в некоторых случаях вопрос об устойчивости положения равновесия не может быть разрешен только рассмотрением линейных членов; в этих случаях необходимо учитывать характер нелинейности системы.

Пример 8. Совсем просто применяется первая теорема Ляпунова об устойчивости к системам, имеющим первый интеграл V{x) = c. В этом случае V = 0, и поэтому начало координат устойчиво, если V - положительно или отрицательно определенная функция. (Если V - отрицательно определенная функция, то - V - положительно определенный первый интеграл.) Сейчас мы покажем на примере, как исследуется устойчивость по линейному приближению с использованием первых интегралов.

Нелинейная система дифференциальных уравнений

л:, = Ах2{Х2,- а),

х2 = Вх,{х - Ь), (12.7)

Хз = Х1Х2