странства Таким образом, в области У для всех >-0 справедлива теорема существования (см. § 5).

Допустим, что характеристические корни \, У, . . ., матрицы Р все различны. Разберем сначала случай, когда все они действительны. В этом случае можно выбрать такие действительные координаты, в которых система (12.2)

сохраняет исходный вид, но P=diag().j.....Х„). Далее

имеются две возможности.

а) Корни \ все отрицательны. Положим

Vx\ + xl+ ... +х2;

следовательно, производная в силу системы (12.2)

V = {\x\+ ... +lxl) + s{x, 0.

где s{x, t) - малая более высокого порядка, чем выписанная в скобках квадратичная форма. Таким образом, в достаточно малой области Q как V, так и -V-положительно определенные функции. Но тогда выполнены условия теоремы II, и начало координат асимптотически устойчиво.

б) Некоторые из корней \ (например \.....\р,

рп) положительны, а остальные отрицательны.

Выбирая

V = x\+xl+... +xl-xl,- ... -xl, мы находим, что

V=(>:,x\+ . . . +Xxl-X xl-...-l„xl) + s(x, 0.

где s(x, t) имеет тот же смысл, что и в а). Таким образом, сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых x+j = ... = x„ == 0), где 1/ > 0. Что касается производной V, то она (поскольку

X+j.....).„ < 0) - положительно определенная функция.

Используя теорему III, убеждаемся, что начало координат неустойчиво.

Обратимся теперь к случаю, когда некоторые из чисел комплексные, например, \.....- действи-

Повторяя рассуждения случая а), мы докажем, что начало координат асимптотически устойчиво. Если же среди корней \.....\р есть положительные или если некоторые

из чисел Xpj. имеют положительные действительные части, то, элементарно видоизменив рассуждения случая б), получим, что начало координат неустойчиво.

Подводя итог, мы сформулируем следующее утверждение. Для того чтобы начало координат было асимптотически устойчивым положением равновесия нелинейной системы (12.2), достаточно, чтобы все характеристические корни матрицы Р имели отрицательные действительные части. Если имеется хотя бы один характеристический корень с положительной действительной частью, то начало координат неустойчиво.

Подчеркнем, что хотя часто решения системы (12.2) совершенно неизвестны, тем не менее и тогда метод Ляпунова дает очень ценную информацию об устойчивости.

Замечание. Ниже, в связи с задачами автоматического регулирования, будет показано, что если все корни Xj, независимо от того, различны они или нет, имеют отрицательные действительные части, то начало координат асимптотически устойчиво.

Пример 7. (Критический случай.) Пусть исследуемая система имеет вид

x = Px-{-q(x). (12.3)

где Р - постоянная матрица, а q(x) - вектор-функция, компоненты q,, q которой представляют собой сходящиеся степенные ряды от компонент Xi вектора х, начинающиеся с членов не ниже второй степени.

) Случай р = О не исключается. - Прим. перев.

тельныеаj.Xpj, --.Др+тДр+т - комплексные, причем р-\-2т - п. Если корни \.....- отрицательные

и числа Xpj, k=\.....т, все имеют отрицательные

действительные части, то определим

V = x\+ ... + Х ...+х

ly = Fiy) + foiz) + f(z)y-{-Mz)y-\- . . . \z = Qz-\-Hiy) + hoiz)-{-h,(z)y-{-h2 (z) f -

(12.4)

где обозначения имеют следующий смысл:

F {у) - степенной ряд с младшим членом ау, Л/>.2; hi - степенные ряды, младшие члены которых имеют степень не ниже 3 для /о,

2 для йо, /i...../д. 1,

1 ДЛЯ h. . . . , /д., /д,,, . . . ;

) Более подробное изложение можно найти в указанных на стр. 54 книгах И. Г. Малкина и Н. Г. Четаева. - Я/ил. перев.

Критическим будет тот случай, когда среди собственных значений матрицы Р имеются нули или пары чисто мнимых чисел.

Элементы /7,у матрицы Р будем представлять себе как координаты в некотором «2.мерном евклидовом пространстве. Точки этого пространства, отвечающие матрицам, у которых все характеристические корни имеют отрицательные действительные части, заполняют некоторую область R. Эта область соответствует асимптотически устойчивым системам. Если теперь приближаться к граничной точке М области R, то некоторые из характеристических корней стремятся к нулю или к чисто мнимым числам; точка М будет критической точкой.

Ляпунов разобрал случай, когда у матрицы Р имеется один нулевой или одна пара чисто мнимых характеристических корней. Мы рассмотрим сейчас оба эти случая i).

I. Один из характеристических корней матрицы Р равен нулю. Будем считать, что ненулевые характеристические корни матрицы Р различны и все имеют отрицательные действительные части.

Удобно обозначить порядок системы (12.3) через «+ 1. С помощью нескольких преобразований, которые хотя и запутаны, однако совсем несложны, система (12.3) приводится [к следующему виду (одну из переменных обозначим через у, а остальные - через .....z, объединяя их в «-мерный вектор z):