равновесия является неустойчивый узел (на рис. 17 направления всех стрелок должны быть заменены на противоположные).

Пример 3. Пусть теперь

х = \х-\- ....

y = - v-y+ .

где /. > О и [J. > 0. В этом случае возьмем V - - у2 Тогда

1/ = 2(Хх2 + ,ху2)+ ....

где не выписаны члены степени выше второй; V имеет вблизи начала координат знак, совпадающий со знаком выписанного члена. Поэтому V - функция положительно определенная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых V > О (например, 1/=л;2>0 вдоль у = 0), то выполнены условия теоремы III: начало координат неустойчиво.

Это хорошо известный случай седла (рис. 18).

Пример 4. В трех предыдущих примерах характеристические корни X и ]х были действительными. Займемся теперь случаем комплексно сопряженных характеристических корней:

( х{а-\-Ы)хА

[ х - {а - Ы)х-\- .. .,

где b Ф 0; многоточие означает сходящийся степенной ряд относительно х п х, начинающийся с членов не ниже второй степени, а многоточие с чертой означает степенной ряд, комплексно сопряженный с первым. Предположим, что а < 0. Пусть V = xx. Тогда

V=xx-\-x~x=:2aV(x)-\- ....

где не выписаны члены степени выше второй. Очевидно, что V и -V - положительно определенные функции. Выполнены и остальные условия теоремы II, а поэтому мы имеем асимптотическую устойчивость. В этом случае

получаем хорошо известный устойчивый фокус (рис. 19).

Если а > О, то функции V и V - положительно определенные, а потому положение равновесия - неустойчи-

-уЛЛЛАЛ-

Устойчивый фокус Рис. 19.

вый фокус (на рис. 19 направления всех стрелок должны быть заменены на противоположные).

Пример 5. Интересным приложением является обычный замкнутый электрический контур с нелинейными элементами (рис. 20). Уравнение контура имеет вид

-{-g{x,x)0, где х - заряд конденсатора и, следовательно, х- ток в цепи; R-сопротивление, L - индуктивность, с - емкость, а gix,x) -

нелинейные члены, имеющие степень не ниже второй. Эквивалентная этому уравнению система

х = у,

y = - x-~y-g(x, у)

ППППЛППР-L

Рис. 20.

имеет в начале координат положение равновесия. Характеристическими корнями являются корни уравнения

Они имеют отрицательные действительные части, поскольку R, L к С положительны.

Если -JJ- < -j-, т. е. /?2 0 оба собственных

значения комплексно сопряженны и имеют отрицательную

действительную часть--. В этом случае траектории

имеют вид спиралей, а начало координат асимптотически

устойчиво (устойчивый фокус). Если /?2 > ~, то начало

координат также асимптотически устойчиво (устойчивый узел). Асимптотическая устойчивость положения равновесия довольно очевидна из физических соображений: при положительном омическом сопротивлении с течением времени ток неизбежно исчезает.

Только что рассмотренные примеры соответствуют хорошо известным типам положений равновесия на плоскости. Перейдем к некоторым примерам в «-мерном фазовом пространстве.

Пример 6. (Определение устойчивости по линейному приближению.) Пусть теперь х является «-мерным вектором x={xi.....х„]. Рассмотрим систему

х = Рх-{-д(х, t). (12.2)

где Р - постоянная невырожденная матрица, а нелинейный член q(x, t) - малая более высокого порядка, чем при всех >.0. Предположение о q(x, t) выполняется, например, если компоненты вектор-функции q представляют собой сходящиеся при всех х степенные ряды от Xj, . .., x„, начинающиеся с членов не ниже второй степени и имеющие в качестве коэффициентов функции от t, ограниченные при больших t. Для простоты мы предположим также, что компоненты вектор-функции q(x, t) имеют частные производные первого порядка по х и t, непрерывные при всех tO в некоторой области Q про-