) Подробнее по этому поводу см., например, Красов-с к и й Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959. - Прим. перев. По прямой.-Прим. перев.

выяснено в последнее десятилетие трудами ряда ученых (в основном, советских). Но соответствующие доказательства являются предметом специальных монографий и выходят за рамки нашей книги ).•

§ 12. Несколько примеров

Приводимые здесь примеры служат иллюстрацией очень важного положения, которое хотя и упоминалось, но еще не было нами детально разобрано. Речь идет о том, что метод Ляпунова позволяет выяснять устойчивость, используя лишь сами дифференциальные уравнения; при этом их решения не предполагаются известными.

Первые примеры совсем просты, но именно на таких простых примерах развивается мастерство и познается техника конструирования функций Ляпунова.

Мы не будем здесь интересоваться конкретной величиной радиуса р окрестности Q. При изложении примеров в этом разделе мы будем просто говорить „достаточно близко от начала координат", „достаточно малая область", вместо „область Q достаточно малого радиуса р". В следующем параграфе мы рассмотрим этот вопрос с практической точки зрения.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

где g(x)-дифференцируемая при всех х функция. Это уравнение можно интерпретировать как закон движения 2) точечной единичной массы под действием силы -gix). Вводя переменную у = х, придем к следующей системе: х = у,

(12.1)

y = -gix),

эквивалентной исходному уравнению.

Пусть график функции g(x) более или менее напоминает прямую, проходящую через начало коорди-

наг) так, что xg(л;) > О при хфО и giO) - 0. Пусть, далее,

0(л;)=: g{x)dx.

Кинетическая энергия рассматриваемой массы равна , а G{x) - ее потенциальная энергия. Поскольку сопроти-У

вления движению нет, закон сохранения энергии имеет вид

1/(л;) = + G(A;) = ft2;

пунова, равна

это равенство может быть получено также и непосредственно из системы (12.1).

Система (12.1) имеет единственное положение равновесия в начале координат. Функция V{х) является функцией Ля-так как ее производная в силу системы (12.1)

Центр Рис. 16.

V = yy + g{x)xO.

Следовательно, по теореме I, положение равновесия устойчиво.

Фактически решениями системы (12.1) служат кривые V {x) = k. Записав уравнения этих кривых в виде

у=± -1/2[/е2 -0(л;)],

мы легко убедимся, что все они представляют собой замкнутые кривые, окружающие начало координат, которое поэтому не является асимптотически устойчивым положением равновесия.

Только что рассмотренное положение равновесия - простой пример центра (рис. 16).

) И лежащую в первом и третьем квадрантах. - Прим. перев.

Пример 2. Рассмотрим, снова на плоскости, систему

i = -Хл;+ . . .,

y= [xy+ ....

где Х>0 и [А>0, а многоточием обозначены сходящиеся степенные ряды, начинающиеся с членов степени не ниже второй. Выберем, далее, V = х-{- у. Тогда

V- = -2(Xx2 + fxy2)+

где многоточие означает на этот раз члены степени не ниже третьей. При достаточно малых л; и у знак производной

Устойчивый узел Рис. 17.

определяется знаком выписанного члена, а потому F < О (исключая начало координат), т. е. V - отрицательно определенная функция. Так как V (х) - положительно определенная функция, то выполнены условия теоремы Н и положение равновесия асимптотически устойчиво.

Положение равновесия в этом случае - хорошо известный устойчивый узел (рис. 17).

Если X < О и [J. < О, то К > О (исключая начало координат) и выполнены условия теоремы III. Положением