Следовательно), V eV {х) вдоль т. е. V неограниченно возрастает вдоль g+, что, как и выше, указывает на неустойчивость.

Две приведенные теоремы Ляпунова о неустойчивости имеют тот недостаток, что в них речь идет о всей области Q. Утверждение, охватывающее обе эти теоремы, но использующее более узкую область, получил в начале 30-х годов Н Г. Четаев

Теорема V (Теорема Четаева о неустойчивости.) Пусть й - некоторая окрестность начала координат. Пусть даны функция V {х) и область Qj в окрестности Q, обладающие следующими свойствами:

1) частные производные -первого порядка функции V {х) непрерывны в области Q,,

2) функции V {х) и V{x) положительны в области

Ъ) Vix) = 0 в тех граничных точках х области Qj, которые являются внутренними для Q,

Рис. 15.

4) начало координат является граничной точкой области

В этих предположениях начало координат неустойчиво.

Нетрудно видеть, что любая траектория начинающаяся в Sj, должна покинуть 2, так как она не может

) Интегрируя в пределах от О до t, приходим к окончательному результату. - Прим. перев.

) Точнее, определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка. - Яриж. перев.

пересечь границу области 2] внутри 2. Поскольку начало коораинат является граничной точкой для 2], мы можем указать произвольно близкие к началу координат точки, принадлежащие области 2j. Траектории g+, начинающиеся в этих точках, покидают 2. Следовательно, имеет место неустойчивость. Рнс. 15 интуитивно, но весьма наглядно иллюстрирует сказанное. Кривые V{x) = k в области 2, обязательно ведут себя только так, как там указано, причем k уменьшается, когда кривая стремится к внутренней границе В2,. Так как к может вдоль g+ только возрастать, то эта траектория должна вести себя так, как показано на рисунке.

§ 10. Устойчивость и теоремы Ляпунова для неавтономных систем

Рассмотрим теперь неавтономную систему

х = Х{х, t), (F)

для которой теорема существования и единственности справедлива при всех tO в некоторой области

2: \\х\\ <р.

Кроме того, предположим, что А(0, = 0 для всех

Определения устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости, данные в § 7, не изменяются, за исключением того дополнительного условия, что все траектории начинаются в фиксированный момент времени = 0.

Обозначим через W(х) положительно определенную функцию в смысле § 8. Мы скажем, что более общая функция V(x, t) является положительно определенной, если выполняются следующие условия:

а) функция V{х, t) определена) в области 2 при всех t 0;

б) V(0, 0 = 0 при всех >0;

) См., например, М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат, 1952; Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, \955. - Прим. перев.

в) существует такая положительно определенная функция W{x), что W{x)V{x, t) для всех л; из 2 и всех

Отметим, что полная производная V{x, t) вдоль траектории системы (F) записывается в виде

V{x, t)= + X-gxa&V. (10.1)

Если сверх условий а), б), в) еще 1/<0 в области 2 при всех tQ, то функция V называется функцией Ляпунова в области 2.

При таком определении функции Ляпунова теоремы устойчивости и неустойчивости § 9 почти в тех же формулировках переносятся и на случай неавтономной системы (F). В утверждении теоремы II об асимптотической устойчивости нужно требовать, чтобы производная

- V{x, t) при всех 0 превосходила некоторую положительно определенную функцию (л;). Мы здесь опускаем доказательства, несколько усложненные по сравнению с приведенными выше. В этих аоказательствах) приходится позаботиться о равномерности всех оценок по t.

§ П. Обращение теорем Ляпунова

Возникает вопрос: верно ли, что устойчивость, асимптотическая устойчивость и т. д. гарантируют существование тех функций Ляпунова, которые фигурируют в соответствующих теоремах? Очевидно, это лишь интересная математическая проблема, прикладное значение которой невелико. Конкретная функция Ляпунова может привести к сильному достаточному условию устойчивости, которое и требуется на практике, но она не обязана давать необходимые условия. Однако верно (по крайней мере, для первых трех теорем), что существование функции с требуемыми свойствами необходимо для устойчивости.

Теоретически устойчивость всегда можно установить, построив функцию Ляпунова. Это было окончательно