§ 9. Теоремы Ляпунова об устойчивости 49

это без предварительного нахождения решений системы (FA).

Приводимые далее утверждения мы доказываем по возможности геометрически. Однако все формулировки приводятся в строгой аналитической форме, что делает их удобными для приложений.

Теорема I. (Теорема Ляпунова об устойчивости.) Если в некоторой окрестности Q начала координат существует функция Ляпунова V(x), то начало координат устойчиво.

Теорема П. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.) Если, кроме того, -V является положительно определенной функцией в Q, то начало координат асимптотически устойчиво.

Обе эти теоремы мы докажем одновременно; при этом мы используем геометрическую интерпретацию положительно определенной функции V {х) с помощью линий уровня. Рисовать нам будет удобно в случае /г = 2, но все рассуждения справедливы, конечно, для любого п.

Наметим сначала геометрическую идею доказательства. Будем линии уровня функции V{x) рисовать жирно, а сферы Я(г), H{R) - пунктиром (рис. 13). Взяв произвольно) < р, мы построим Н{R) и определим константу k так, чтобы овал С, имеющий уравнение V{x) = k, целиком лежал внутри H{R) (рис. 13). Далее выберем константу г>0 так, чтобы сфера Н(г) целиком находилась внутри С. Рассмотрим теперь какую-нибудь траекторию §•+, начинающуюся в произвольной точке х° сферической области S (г); очевидно, что V {х°} < k. Однако, поскольку V не возрастает вдоль траектории, g+ никогда не сможет достичь С и, следовательно, никогда не пересечет H{R). Таким образом, любая траектория g+, начинающаяся в области 5 (г), всегда остается в S{R), что и означает устойчивость. Совершенно ясно, что по заданному R мы всегда можем подобрать г. Действительно, функция V положительна и непрерывна на сфере Ii(RX

) Обозначения см. в § 4 и 7. Здесь предполагается, что областью Q является некая сферическая область S(()). - Прим. перев.

а потому из компактности Н (R) следует, что эта функция имеет на H(R) положительный минимум, равный k, т. е. 1/(л;)>й для всех точек х сферы H{R). Но функция V(x) непрерывна и обращается в нуль только в начале координат. Поэтому существует достаточно малое г, такое, что V(x)<k для всех х в сферической области S(r). Теорема I доказана).

Рис. 13.

Рис. 14.

В предположениях теоремы II функция V (х) строго убывает вдоль траектории Но может ли эта функция все время оставаться больше некоторого значения / > О? Конечно, нет. Если бы это было так, то V стремилась бы к нулю вне некоторой сферы H(ri) (рис. 14), что невозможно, ибо -V - положительно определенная функция, н, следовательно, она имеет положительный минимум т в „кольце" S. Таким образом, V(x) монотонно убывает и стремится к нулю вдоль траектории что

) В последних строках и заключается строгое доказательство теоремы I. Приведенные же выше рассуждзния с линиями уровня V-k являются нестрогими, так как он» опираются на неверное положение, что геометрическое место V=k всегда есть замкнутая кривая, внутри которой V < k, а вне V > k. Так, например, это неверно для положительно определенной функции 1/(л:) = / (11 л: 11), где / (г) - непрерывная вместе с первой производной положительно определенная функция от г, немонотонна стремящаяся к нулю при 2 -> 0. - Прим. ред.

§ 9. Теоремы Ляпунова об устойчивости 61

возможно лишь в том случае, когда §•+ приближается к началу координат; это и есть асимптотическая устойчивость.

Теорема III. (Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.) Пусть функция V(х) такова, что 1/(0) = О и все частные производные первого порядка непрерывны в окрестности 2 начала координат. Если V - положительно определенная функция, а сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция V принимает положительные значения, то начало координат неустойчиво.

Функция V {х) ограничена в окрестности й. Возьмем произвольное) R и любое rR. Внутри сферической области S{r) мы выберем в качестве начальной точки траектории §+ такую точку лг", что V{x)Q. Так как V - положительно определенная функция, то V может только возрастать вдоль а потому g+ не будет приближаться к началу координат. Отсюда, как и ранее, получаем, что l/m>0 вдоль g+. Следовательно, функция V должна неограниченно возрастать. Но тогда неминуемо достигнет границы И{R) области S(R), что и означает неустойчивость.

Теорема IV. (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.) Если функция V{x) такая же, как и в теореме III, aV = W-\-V*, где \ у О, и V*(x) - неотрицательная функция в Q, то начало координат неустойчиво.

Выберем, как и раньше, начальное значение х в S{r) так, чтобы 1/(л;0)>0. Пусть x{t) - решение уравнения (FA), удовлетворяющее условию х{0)~х, а §+ - траектория, выходящая из точки л;". Используя условие теоремы, получаем

-Vix{t))W{x{t)) + V*{x{f)) (9.1)

A(e->.V)= е-"1/*>0. (9.2)

) Но, конечно, такое, чтобы область S {R) целиком входила в Q. - При.ч. перев.