то поверхность V {х, у) напоминает в общих чертах вогнутое вверх параболическое зеркало или стоящую на столе пиалу (рис. И). Мы для краткости назовем такую поверхность чашей). Если V - отрицательно определенная функция, то чаша расположена вверх дном (таким было бы отражение пиалы, стоящей на зеркальном столе). В случае «-мерного пространства положение является

точно таким же; поверхность z = V{Xi.....х) будет

«-мерной чашей.

Инте{сно н другое геометрическое истолкование функции V(x). Пусть снова п==2, а х и у - обычные декартовы координаты. Тогда линии уровня V(x, y) - k представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат (рис. 12)2). Эти кривые можно представлять себе как проекции на плоскость х, у (т. е. на плоскость z = 0) линий пересечения описанной выше чаши горизонтальными плоскостями. При « > 2 интерпретация остается точно такой же.

Некоторые специальные функции Ляпунова. Предположим, что в окрестности начала координат функция V может быть записана в виде степенного ряда по переменным л:,-:

V = V{x) + Vp,{x)+ ....

где Vft(x) - однородная симметрическая форма степени k от переменных л:,.....х„. Форма Vp(x) является совокупностью членов низшего порядка в этом степенном ряде.

При малых X члены Урц, ••• имеют более вы-

сокий порядок малости по сравнению с Vp, а потому

знак функции V в некоторой малой окрестности Q начала координат совпадает со знаком формы. Vp ).

) В оригинале сир. - Прим. перев.

) Рис. 12 воспроизводит простейший, наиболее типичный случай, не исчерпывающий, однако, всех возможностей. - Прим. перев.

) Предполагается, что форма Vp (х) знакоопределенная (положительно или отрицательно определенная). - Прим. ред.

V{x)= Zi a,-jX,Xj, aij = a

Необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичной формы V(х) были указаны Сильвестром. Критерий Сильвестра состоит в том, что все

) По определению однородности, форма Vp (kxi, .....kx„)-

= kPVp(xi, X2.....x„). - Прим. перев.

Весьма полезен следующий простой факт: если р - нечетное число, то функция V (х) не может быть функцией Ляпунова. Действительно, полагая

Х\ = XUy, X2 = XU2..... -"«-1 = x„a„ j, x„ = x-l,

получаем)

Фиксируя значения а,.....а„.,, мы видим, что знак

формы Vp совпадает со знаком хр, если величина V(a,, «„ i. 1) > О, или со знаком - хр, если

Vttj....."n-i. 1)<0- Так как р - нечетное число, то хР

(или, соответственно, -х) вблизи начала координат может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а потому функция V не будет положительно определенной. Конечно, приведенное рассуждение справедливо лишь в том случае, когда выбраны таким образом, что Vp{Ui, .... и„ , \)Ф0. Такой выбор значений всегда возможен, поскольку форма V,, (х) не обращается тождественно в нуль.

Таким образом, для того чтобы функция V{х) могла быть функцией Ляпунова, низшая степень ее членов должна быть четной. Это, однако, лишь необходимое, но отнюдь не достаточное условие. Действительно, форма V, = х-х не является ни положительно, ни отрицательно определенной, так как VQ, например, при х, - О и О при

Х2=0.

Простейшей положительно определенной функцией является положительно определенная квадратичная форма

an > 0;

2122

>0; fl,i>0,

г, /и = 1, 2.....п.

Доказываться этот результат здесь не будет).

Не следует думать, что положительно определенная функция всегда должна представлять собой один степенной ряде четной наименьшей степенью. Например, функция

! - "р" -

~\х* при х<0

скалярного аргумента, очевидно, является положительно определенной.

Важное замечание. Окрестность 2 начала координат пространства х однозначно отображается на чашу z - V(x): каждой точке л: из 2 соответствует единственная точка (а:, г) на чаше и обратно. Кроме того, это соответствие непрерывно в обе стороны (т. е. взаимно непрерывно). Оба эти свойства имеют в виду, когда говорят, что это соответствие является топологическим.

§ 9. Теоремы Ляпунова об устойчивости

Интуитивно ясно, что если при приближении к положению равновесия физической системы энергия системы всегда убывает, то это положение равновесия устойчиво. Теоремы Ляпунова обобщают эту идею, а функции Ляпунова можно рассматривать просто как развитие энергетических концепций. Центральная идея метода Ляпунова - непосредственное исследование устойчивости положения равновесия системы (FA) при помощи подходящим образом построенной функции Ляпунова V(х), причем делается

) См., например, Курош А. Г., Курс высшей алгебры. Физматгиз, 1962; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Гос-техпздат, 1953. - Прим. перев.

последовательные главные миноры матрицы (ау), соответствующей форме V, должны быть положительны: