ние равновесня не будет асимптотически устойчивым (рис. 8).

Пример 2. Обратимся теперь к системе

Х= -X,

у = -у.

Ее решение: х-Ае, у- Be-*. Так как yjx - BjA = k, то траекториями являются лучи, исходящие из начала координат (рис. 9). Мы можем снова выбрать r = R. Любая

Устойчивость Рис. 8.

Асимптотическая устойчивость Рис. 9.

траектория g+, начинающаяся внутри S(r), остается все время в круговой области S{R) и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при t~oo. Следовательно, имеет место асимптотическая устойчивость. В действительности здесь будет даже асимптотическая устойчивость в целом) - любое решение стремится к положению равновесия.

Пример 3. Наконец, возьмем систему

\ Х= X,

у=у;

ее решение: х - Ае, у = Ве. Так

снова xly = k.

) В оригинале asimptotic stability in the \atge. - Прим. перев.

то траекториями являются лучи, исходящие из начала координат (рис. 10). Этот случай отличается от примера 2 тем, что движение по лучам происходит в направлении от центра. Выбрав любое R и сколь угодно малое г,

легко убедиться, что траектория g-+, начинающаяся в любой точке круговой области 5 (г), обязательно достигает окружности H{R), т. е. положение равновесия неустойчиво.

Теоремы Ляпунова позволяют свести изучение только что определенных свойств (устойчивости, асимптотической устойчивости и т. д.) систем дифференциальных уравнений к рассмотрению свойств некоторых функций. Этими функциями мы и займемся в первую очередь.

Heycmoihueormh Рис. 10.

§ 8. Специальный класс функций

Очень важную роль в дальнейшем играют так называемые положительно определенные скалярные функции V(x), которые обладают следующими свойствами:

а) функция V (х) непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой открытой области Q, содержащей начало координат;

б) К(0) = 0;

в) всюду внутри области Q, кроме начала координат, функция V (х) положительна.

Иными словами, функция V(x) неотрицательна всюду внутри Q и обращается в нуль только в начале координат, где имеет, таким образом, изолированный минимум.

Так как V (х) имеет частные производные первого порядка, то существует grad V. Как известно, вдоль траек-

тории g системы (FA) выполняется равенство) V=:X gxadV.

Если кроме приведенных выше свойств а), б), в) справедливо еще одно:

г) У<;0 всюду в области Q, то функция V(x) называется функцией Ляпунова.

Выясним геометрический смысл функции V(x). С этой целью введем новую координату z = V{x) и рассмотрим

Рис. 11.

Рис. 12.

эту поверхность в пространстве переменных х, х.....х„, z,

или, короче, в Е"*1. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае « = 2 и для координат х,, используем более привычные в этом случае обозначения X, у. Таким образом, наша задача - описать поведение поверхности z -К(х, у) вблизи начала координат в предположении, что V-положительно определенная функция. Это теперь совсем нетрудно сделать. Так как VO для малых х, у и V = 0 только для х=у = 0.

) Таким образом, полная производная функции V (х) по времени в силу системы (FA) равна скалярному произведению

вектора фазовой скорости {Х,.....Х„} на градиент функции V.

Напомним, что производной в силу системы (FA) называется производная по t сложной функции V (х (t)), где х (t) -- уравнение траектории g. - Прим. перев.