мы приведем уравнение (F) к уравнению

которое принимает ту же общую форму

у = К(у, О, КсО, 0 = 0.

причем теперь траектория g соответствует тривиальному решению у = 0. Вопрос об устойчивости решения fit) сводится к изучению устойчивости начала координат пространства Е".

Особенно важным для приложений является часто встречающийся случай, когда система автономна

х = Х{х) (FA)

и координаты Xj, .... х„, являющиеся параметрами объекта, могут сохранять постоянные значения й,, . .., а. Другими словами, точка х=а есть решение: Х{а)~Ь. Если в начальный момент система находилась в положении равновесия а, то она навсегда останется в этой точке. Однако это утверждение - чисто теоретическое. Реальная система испытывает различные возмущения, и потому никогда нельзя точно установить ее начальное состояние. Мы снова приходим к проблеме устойчивости: будет ли система, несмотря на влияние малых возмущений, оставаться вблизи положения равновесия или нет? Эта задача всесторонне обсуждается ниже.

§ 7. Устойчивость в автономных системах

Мы рассмотрим автономную систему (FA) и изучим устойчивость ее положения равновесия х = а. Удобно прежде всего выбрать точку х = а началом координат. Этого можно добиться, сделав простое преобразование координат х = X - а. Будем считать его выполненным и обозначим X* снова через х. Таким образом, рассматривается основная система

х=Х{х), X{Q) = Q (FA)

и исследуется устойчивость начала координат.

§ 7. Устойчивость в автономных системах 41

Предположим, что в некоторой сферической области Q:!x[<p [такая область обозначается 5(р)] для системы (FA) выполняются все условия основной теоремы существования (см. § 5); в частности, отметим, что в области Q существуют и непрерывны все частные производные 1, У=1, 2.....п. Напомним, что тогда

через каждую точку х области 9 проходит единственная траектория g системы (FA).

Мы обозначим ту часть кривой g, которая описывается функцией x(t) при <>-0, через g+, а ту, которая описывается этой же функцией при <; О, через g~.

Будем говорить, что положение равновесия в начале координат

устойчиво, если для любого < р существует такое rR, что траектория (движение) g+, начинающаяся в точке л: сферической области S{r), все время затем остается в сферической области 5 (/?)), иначе говоря, траектория g+, начинающаяся внутри области S{r), никогда не достигает сферы H{R) (рис. 7);

асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и, сверх того, существует такое Rq < р, что каждая траектория g+, начинающаяся в сферической области S{Rq), стремится к началу координат, когда время неограниченно растет (рис. 7);

неустойчиво, если для некоторого (хотя бы одного) < р и любого г, каким бы малым г ни выбиралось, всегда найдется внутри сферической области S(r) такая точка х°, что траектория начинающаяся

в этой точке, достигает 2) сферы H{R) (рис. 7).

) То есть при всех 0< < оо имеем х (t) < R. То, что функция X (t) определена при всех >• О, ниоткуда не следует и является еще одним дополнительным предположением при определении устойчивости. Предполагается, что любое решение X (t) с начальным условием х (0) = х", где х" - любая точка .области Q, определено при всех f > 0. Отметим, что в качестве начального можно брать любой конечный момент времени О < <о < оо. - Прим. перев.

2) За конечное время. - Прим. перев.

Пример 1. Рассмотрим систему второго порядка (х и у - обычные декартовы координаты на плоскости):

Так как хх-{- уу = Q, то траекториями являются концентрические окружности х2-(-у2 = /2 (- центром в начале

Рис. 7.

координат. Начало координат является единственным положением равновесия. Если взять r = R, то любая траектория, начинающаяся внутри S(r), остается все время внутри круговой области S(r), а следовательно, и внутри S{R), так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат, и положе-