не удовлетворяется ни при каком наборе констант Cj, ... .. ., f„, если хотя бы одна из них отлична от нуля.

III. Пусть JCjy, jc„y - компоненты вектора-решения JcW, и пусть X - матрица, у-й столбец которой состоит из этих компонент. Матрица X (t) является невырожденной 1) для каждого t, т. е. \ X {t) \ Ф О при любом t, и, следовательно, матрица X (t) всегда имеет себе обратную.

IV. Непосредственно проверяется, что матрица X удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

Х::=АХ. (5.6)

V. Если X удовлетворяет уравнению (5.6), то и ХС, где С - любая постоянная матрица, также является решением этого уравнения.

VI. В частности, решение .З"(t) = X(t)X (0) уравнения (5.6), часто обозначаемое через обладает тем свойством, что .{0) = Е, причем других решений, обладающих этим свойством, не существует. Это решение называется главной матрицей решений"). Решение системы (5.5) с начальным условием х{0) = с имеет вид Si(t)c.

Сопряженная система. Вместе с системой (5.4) удобно рассматривать сопряженную к ней систему

-(аиУ1+а2гУ2+---+ашУ„). = 1. 2, п,

(5.4)

или в матричной форме ) (у теперь вектор-строка)

у = -уЛ. (5.5/

) Имеется в виду, что х-", у= 1, я, - линейно независимые решения, т. е. что они составляют фундаментальную систему решений. Матрицу X {t) иногда называют фундаментальной матрицей. -Прим. перев.

2) В оригинале principal matrix solution. Эту матрицу иногда называют фундаментальной нормированной матрицей.- Прим. перев.

2) Иногда, впрочем, у считают вектор-столбцом и записывают сопряженную систему в виде у = - Ау. - Прим. перев.

Обращаться с системой (5.4) можно точно так же, как и с системой (5.4), только теперь всюду строки и столбцы меняются местами, а правое умножение матриц заменяется левым. Все изложенные выше свойства остаются справедливыми и будут обозначаться Г, 1Г.....VI. В частности, матричное уравнение (5.6) примет вид

Y = ~YA. (5.6)

Характеристическими корнями матрицы -А системы (5.5) служат корни уравнения

1 - Л - Х£ 1 = (- 1) I Л + Х£ I = (- 1) / (- >-) = О,

т. е. -Xj, -..... -Х. Мы получаем следующее

утверждение.

I. Каждая компонента вектора решения системы (5.5) представляет собой сумму не более п членов вида gj{t)ei, где gj(t)-многочлен степени строго меньшей«.

Заметим, что п линейно независимых решений системы (5.5) являются теперь строками матрицы Y.

Пусть St - главная матрица решений системы (5.5). Можно показать, что является главной матрицей ре-

шений системы (5.5). Действительно, если обозначить 2/() = JT- (г"), то 2/(0) = jr~40) = Кроме

того, из ЭСу - Е следует

О = = ЛГ2/ + .Э = Л-(- JT.

т. е. 2/ - - Г"Л = - 2/Л, и уравнение (5.6) удовлетворяется. Таким образом, 3"" (t) = е""* - главная матрица решений сопряженной системы (5.6).

§ 6. Общие соображения об устойчивости

Термин „устойчивость" настолько выразителен, что он сам почти все за себя говорит. Пусть какой-нибудь прибор используется некоторым образом при определенных общих условиях. Эти условия слегка изменяются. Повлечет это за собой небольшое или, наоборот, значительное изменение в работе прибора? В первом случае говорят об устойчивости, во этором-о неустойчивости.

§ 6. Общие соображения об устойчивости 39

Каким образом это понятие применяется для исследования физических систем? Такая система зависит, скажем, от нескольких физических параметров .....х„ - координат и скоростей. Ее состояние в момент времени t мы обозначим через x{i) и будем представлять себе как точку или вектор х в некотором пространстве Е". Точка x{t) с течением времени описывает траекторию g в этом пространстве. Возникает вопрос: как ведут себя по отношению к g траектории g*, которые начинаются) вблизи g? Остаются ли они все время вблизи g (рис. 6) 2),

x(f)

Рис. 6.

что означает устойчивость, или же они уходят прочь от g, что соответствует неустойчивости?

Аналитически эта проблема формулируется следуюш.им образом. Прежде всего, мы ограничимся процессами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Иными словами, предположим, что траектория g и близкие к ней траектории являются решениями некоторого векторного уравнения

x = X{x.t). (F)

Пусть траектории g соответствует частное решение f{t) уравнения (F). Устойчивость этого решения и предстоит нам исследовать. Сделав замену переменных (рис. 6)

у = х-/(0. ху + /(0.

) в соответствующий момент времени. Иногда рассматриваемое свойство называют устойчивостью по отношению к начальным возмущениям.- Я/7Ил<. перее.

), Когда здесь говорится о близости траекторий g и g*, то имеется в виду близость соответствующих точек этих траекторий, т. е. точек, которые соответствуют одному и тому же зна-ению i. - Прим. ред.