отрезками OA и ОВ (рис. 1). Построим параллелограмм ОАСВ. Тогда диагональ ОС изображает сумму х + у, а диагональ АВ - разность у - х.

Чтобы получить евклидово пространство, введем следующий способ измерения длины, т. е. расстояния между парой точек. Из рис. 1 непосредственно видно, что расстояние между точками А п В равно длине отрезка АВ или, что то же самое, длине вектора у - х. Способ измерения расстояний введем в два этапа. Определим сначала длину {модуль) вектора х по формуле

ЦхЦ = Ух~х =Ух\-{-х1-{- ... -{-xl. (1.1)

После этого расстоянием от точки А до точки В естественно назвать величину

d{x, у)= \\у - х\\ =

= ViVx - xxf + (У2 - 2) + -{-{у п- . (1.2)

Так, например, при « = 2 каждый вектор (каждая точка) характеризуется двумя координатами Xj и Xj. Поэтому длина вектора х в этом случае выражается формулой

x=/IfT.

а расстояние между двумя точками-формулой

d(x. y)=V{у, - x,f+{y - xf.

Эти формулы известны из аналитической геометрии.

Заметим, что формулы (1.1) и (1.2) имеют определенный реальный смысл, если смотреть на них с практической точки зрения. Пусть х,, Xj.....х„ - параметры

динамической системы S, и пусть S{x) и S{y) - два ее состояния. „Близость" этих состояний можно характеризовать величиной rf(x, у). Действительно, если d{x, У)<е, то абсолютная величина разности соответствующих значений каждого из параметров меньше е:

\yk - Xk\< k-\, 2.....«,

так что состояния системы и в самом деле близки дрзгг к другу.

§ 1. пространства, расстояния, векторы 11

Может случиться, что компоненты вектора х являются функциями некоторой переменной t; тогда х() означает вектор {xi(/), xit),..., x„(f)]. Иногда вместо х() пишут просто X, подразумевая вектор, зависящий от t.

Если функции Xi().....-л(0 дифференцируемы, то х()

означает вектор {xi(), x(t)..... niO]- Аналогично

определяется вторая производная х(), третья x{t) и т. д.

Пример. Если материальная точка Р массы т. с радиусом-вектором X с течением времени t некоторым образом перемещается в пространстве, то вектор х есть

функция времени х(). Тогда х() - вектор скорости

точки Р, а x(t) - вектор ускорения этой же точки. Если F - вектор силы, приложенной к точке Р, то движение описывается вторым законом Ньютона mx = F.

Скалярную действительную функцую/(х1, х, .. .,x„.t), зависящую от компонент вектора х и переменной t, можно представлять себе как функцию вектора х и скаляра t и обозначать ее через /(х, t).

Если имеется s таких функций

/,(х. t), fix, t).....Д(х. t),

то их в совокупности можно рассматривать как компоненты s-мерного вектора /, который является функцией «-мерного вектора х и переменной t; поэтому его удобно обозначать просто /(х, t). Здесь, в отличие от того, что было ранее, / означает s-мерный вектор, а не скаляр (т. е. одномерный вектор). Чтобы избежать недоразумений, необходимо всякий раз оговаривать, понимается ли под / вектор или скаляр.

Пусть скалярная функция f (х, ... х„, t) -f (х, t)

df df

имеет непрерывные частные производные , ..., ~- .

OJC OXf

Их можно считать компонентами «-мерного вектора, который называется градиентом и обозначается dfldx или grad /.

Предположим, далее, что / имеет также частную производную dfjdx по t. Если х = х() - функция пере-

менной t, то справедливо следующее хорошо знакомое правило дифференцирования:

= + grad/.x +

(1.3)

§ 2. Матрицы и определители

В дальнейшем мы будем широко использовать матрицы и векторы; целесообразно поэтому остановиться на этих понятиях несколько подробнее.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел (действительных или комплексных). Например,

/ 2.1

2,6 -4 -3 \

1 1.6

41 -0,1 7 у

- матрица, состоящая из 3 строк и 4 столбцов. Матрица общего вида с буквенными элементами, имеющая т строк и п столбцов, записывается в виде

(2.1)

Мы будем говорить, что это т X п-матрица. Такую матрицу для краткости удобно обозначать одной буквой А или символом (Оу). где индекс i принимает значения

1, 2.....т, а У - значения 1. 2, .... п.

Напомним следующие основные операции над матрицами.