ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

В развитии теории дифференциальных уравнений легко различаются два противоположных направления. К первому направлению можно отнести исследования, в которых отражено стремление получить решение либо в „замкнутой форме" (что возможно лишь в редких случаях), либо в результате некоторого приближенного процесса. Целью исследований, относящихся ко второму направлению, является получение информации о свойствах всего множества решений уравнения, причем не делается попыток для отыскания точных или приближенных решений этого уравнения.

Именно так формулируются задачи качественной теории дифференциальных уравнений, которая была создана А. Пуанкаре еще в 1880 году и продолжает интенсивно развиваться в настоящее время.

Главная задача качественной теории состоит в изучении поведения решений, близких к некоторому заданному решению. Это решение изображается кривой или траекторией С в некотором пространстве. Возникает вопрос, будет ли траектория D, начинающаяся вблизи С, все время оставаться в окрестности траектории С (тогда С - устойчивая траектория), или эта траектория будет удаляться от С (тогда С - неустойчивая траектория). Таким образом, исследование устойчивости входит в круг задач качественной теории дифференциальных уравнений.

Без преувеличения можно сказать, что создателем теории устойчивости является А. М. Ляпунов. Отправной точкой всех исследований в этом направлении служит его классическая работа „Общая задача об устойчивости движения", впервые появившаяся в России в 1892 году и переведенная на многие языки. Этот труд является настольной книгой ученых советской школы специалистов по

теории дифференциальных уравнений, школы, которая по праву занимает сегодня ведущее место в мире.

В своей работе А. М. Ляпунов изучает вопросы устойчивости с помощью двух различных методов. Для использования так называемого первого метода Ляпунова необходимо предположить, что исследуемое решение известно; этот метод применим лишь к ограниченному классу важных случаев. Напротив, второй, или прямой метод Ляпунова является чрезвычайно общим и мощным, и, самое главное, для применения этого метода не нужно знать самих решений - в этом его неоценимое преимущество.

Целью настоящей книги является изложение в общих чертах теории устойчивости Ляпунова и особенно - ознакомление с его прямым методом. Все изложение ведется на уровне, вполне доступном инженеру с некоторой математической подготовкой. Конечно, мы не в состоянии полностью избежать чисто математических построений; чтобы облегчить их понимание, мы кратко излагаем необходимые сведения, которые для большинства наших читателей могут оказаться достаточно известными.

Мы особенно польщены тем, что эта книга включена в серию, которую организовал и издает наш старый и любимый друг Ричард Беллман Мы хотели бы также отметить очень приятное для нас сотрудничество с издательством Academic Press и ту большую работу, которая была проделана по изданию книги.

) В США книга издана в серии монографий и учебников .Mathematics in Science and Engineering", выходящей под общей редакцией известного американского математика Р. Беллмана.- Прим. ред.

Глава I

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ: ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

§ 1. Пространства, расстояния, векторы

Состояние динамической системы (например, движущегося твердого тела, частей работающей машины, электрической цепи и даже экономической схемы), т. е. ее положение в пространстве и скорость, в каждый момент времени можно описать значениями некоторых параметров Xj, Xj.....х„.

Мы будем представлять себе эти параметры как координаты точки х в «-мерном пространстве £" или, равным образом, как координаты (компоненты) вектора х в том же пространстве. Тем самым в £" отождествляются

точки и векторы Это позволяет определить операции над точками по аналогии с векторным исчислением. Мы напомним здесь соответствующие правила. Если х= {Xj, .... х„} и y=;{yj.....Уд)-два вектора (или две точки), то

, х„4-У„1.

Рис. 1.

x + y={xi + yi, Xj-b kx = [kxi, kx, . 0 = {0, 0.....0)

X. у=Х1У1 + Х2У2+ •

(скалярное произведение).

Напомним также следующее хорошо известное построение. Пусть векторы х и у изображены направленными

(начало координат).

) Точнее, отождествляется точка х и вектор, идущий из начала координат в точку х. -Прим. перев.