Вычисление пространственно-временной корреляционной функции показывает, что она, как и в (1.2.44), не распадается на произведение пространственного и временного сомножителей. Однако для ориентировочного определения числа пространственно-временных ячеек корреляции в принимаемом сигнале можно воспользоваться выражением вида

(1.2.60)

где ti - моменты времени, отстоящие один от другого на интервал временной корреляции.

Для учета спектральных характеристик сигнала полезно также рассчитать корреляционную функцию по длине волны излучения. С учетом в реальных условиях величин Gi/1 для случая отражения прямоугольного импульса от наклонной плоскости получим

(1.2.61)

Выражение (1.2.61) не содержит величины наклона плоскости, т. е. оно может быть использовано для произвольной поверхности. Таким образом, интервал корреляции определяется протяженностью импульса

(1.2.62)

Полученная оценка tsX (соответствующая по частоте Аа> - с!1) совпадает с шириной основной части спектра идеального прямоугольного импульса и позволяет судить о том, что в самом зондирующем импульсе отсутствуют спектральные компоненты, обеспечивающие усреднение по X.

В реальной ситуации лазерным локатором может излучаться сигнал более сложного спектрального состава, чем рассмотренный идеальный узкополосный сигнал. Реальным режимом, позволяющим генерировать импульсы малой длительности, является режим синхронизации мод. При полной синхронизации сигнал представляет собой последовательность импульсов длительностью xfvl/NQ, следующих с интервалом Т=2я/й. Интенсивность этого импульсного сигнала описывается выражением

sin2(JVQ/2) sin2(Q/2)

(1.2.63)

где N - число продольных мод; Q - межмодовая частота. Таким образом, в этом режиме излучаемый сигнал имеет детерминированную форму, для него остаются справедливыми все полученные соотношения, но в них должна учитываться конкретная огибающая на основании (1.2.63).

Проведенный анализ позволяет перейти к описанию статистических свойств зарегистрированного сигнала, синтезировать алгоритм его обработки и оценить их эффективность.

1.3. Световой фон. Статистическое описание локационного сигнала

На практике вместе с полезным локационным сигналом от цели всегда присутствует аддитивный световой фон. Он порождается рассеянным в атмосфере солнечным излучением, свечением звездного ночного неба и излучением, отраженным от различных посторонних объектов, попадающих в поле зрения оптических систем. Являясь следствием естественного хаотического излучения, временная реализация фона, возникающего вследствие рассеяния в атмосфере, имеет явно выраженный случайный характер и обладает широким частотным спектром, который в пределах пропускания приемных оптических систем можно считать постоянным. С точки зрения временных свойств случайной реализации это означает, что ее значения оказываются практически 6-коррелированы.

Особенности пространственных характеристик рассеянного светового фона связаны с тем, что для каждой монохроматической компоненты световой фон представляет собой суперпозицию отдельных плоских волн. Эти волны могут приходить с различных направлений, ограничиваемых полем зрения Шд оптической системы. Обозначим через Еф{а) комплексную амплитуду плоской волны, приходящей из направления, определяемого единичным вектором а. Тогда комплексная амплитуда фона в плоскости наблюдения будет пропорциональна

(1.3.1)

Еф (р) ~ j ф (а)ехр {ika р) da.

Величины Еф{а) случайны и независимы между собой, так что {Еф {Ui)Eia)) = { \ Еф]) 8(aj -аг). Причем для однородного фона,

обусловленного рассеянным излучением, значение< £фр> в пределах поля зрения можно считать постоянным. В силу того, что парциальные волны могут порождаться источниками, находящимися на самых разных расстояниях от плоскости наблюдения, их абсолютные фазовые набеги могут колебаться в весьма широких пределах. Поэтому <£ф(а)>=0. С учетом отмеченных особенностей можно с хорошей степенью точности считать, что комплексные амплитуды фона в плоскости наблюдения являются нормальными случайными величинами, среднее значение и функция корреляции которых равны

(ф(р)) = 0;

{чСр1){Р2))-{\£ф Р) J eKp[ika{i,~72)\da. (1.3.2)

Из (1.3.2) следует, что размеры области, в которой значения фона коррелированы между собой, определяются величиной поля зрения и они оказываются тем меньше, чем больше область ©п. В то же время размеры корреляционной области для комплексных амплитуд поля, рассеянного шероховатым объектом, обратно пропорциональны величине телесного угла ©об, ограничивающего этот объект. Часто (Ооб<(0п. Тогда пространственный радиус корреляции флуктуации фона существенно меньше радиуса корреляции сигнального поля. Это обстоятельство позволяет считать рассеянный фон д-коррелированным по плоскости наблюдения. Обоз1Начая

эту составляющую фона через п(р, i, а его пространственно-временную спектральную плотность через No, имеем

(пСр, i))=.0;

1<Л?и h\ Г2, 2)= (Л(pi, М«(?2, 2))=Ло8(Р.-Г2)8(А-2). (1.3.3) Помимо фона, обусловленного рассеянием светового излучения, реально может присутствовать фоновая составляющая Пм(р, О» которая создается некоторой совокупностью мешающих объектов. Показательным примером подобной ситуации может служить ландшафт земной поверхности при ее наблюдении с космических аппаратов. Здесь в качестве фона часто выступают лесные массивы, распаханные поля, волны водных поверхностей, барханы пустынь и т. п. Б этом случае отдельные элементы всего мешающего массива разрешаются формирующей оптической системой и их можно рассматривать как точечные. Пусть суммарное число таких объектов, попадающих в поле зрения, равно L и каждый /- и объект име-ет в картинной плоскости координату п. В общем случае значение величины L много больше единицы и случайно, а всякий объект характеризуется своей случайной комплексной амплитудой Ei(ri).

Случайность значения Ei(ri) обусловливается случайностью коэффициента отражения, вариациями кривизны отражающей части поверхности каждого конкретного объекта, возможной неравномерностью освещающего излучения и т. п. Вследствие того, что каждый объект «мешающего» массива является объемным, та часть его поверхности, которая ответственна за рассеяние световых волн, отстоит от картинной плоскости на некоторое расстояние g;. Величины ; намного меньше геометрических размеров области Qn, попадающей в поле зрения (Оц. Это обстоятельство позволяет и в данном случае при описании фоновой составляющей воспользоваться введением некоторой картинной плоскости.

В результате, с точки зрения математической модели данная

компонента светового фона по своим пространственным характеристикам оказывается тождественна сигналу, рассмотренному ранее при обсуждении вопросов рассеяния светового излучения от шероховатой поверхности. Это означает, что «„(р, t) представляет собой нормальное случайное поле, пространственные свойства которого для каждой спектральной составляющей описываются соотношени-ем типа (1.2.27), где вместо и (г) должна быть использована другая функция иф{г), связанная с распределением «мешающих», «фоновых» объектов по плоскости наблюдения.

Физическая причина столь существенного совпадения пространственных свойств комплексных амплитуд фона Пм(р, О и сигнала, отраженного от шероховатой цели, кроется в том, что в обоих случаях принимаемое поле - есть суперпозиция большого числа случайных независимых парциальных волн. В одном случае эти волны создаются отдельными неровностями шероховатой поверхности наблюдаемого объекта, в другом - элементами всей совокупности неразрешаемых объектов, разбросанных по видимой части картинной плоскости. При этом абсолютные значения фаз парциальных световых волн настолько сильно флуктуируют, что на пространственной структуре поля проявляются не различия в физической природе истинных источников волн, а различия в их пространственном расположении.

Вследствие того, что при отражении от обычных реальных объектов свет приобретает некоторую «цветовую окраску», временные характеристики этой фоновой составляющей соответствуют некоторому достаточно узкополосному процессу. Обозначим спектральную плотность этого процесса через Оф{(л). В принципе Оф{(й) является существенно более широкой функцией нежели G(ft)) для подсвечивающего лазерного излучения. Однако по сравнению со спектром фона, обусловленного рассеянием в атмосфере, спектр Сф(а)) оказывается значительно более узким. Учитывая все сказанное и ориентируясь на выражения (1.2.31) и (1.2.32), имеем,

что <Пм(р, О > = 0, а корреляционную функцию этой фоновой компоненты можно представить в виде

Кф(ри 1,"Р2, 2)=(«м(Р1, i)«m(P2, 2)) =

=-.РфКеКф(ри ti\ Р2, 2)ехр(-гЧ(А-2))-

(1.3.4)

Кфви к, 2, 2)=- J ИфК ">)0фИЯЛ-"р1)Х

хН* {г - Ра) е- otto dn

(1.3.5) 43

йп-область картинной плоскости, «вырезаемая» телесным углом (йп-

Заметим, что если лазерный локатор работает ночью, то «естественным» фоном от мешающих объектов можно пренебречь. Однако в этом случае обязательно присутствует фон от тех же мешающих объектов, обусловленный самим подсвечивающим излучением. По своей физической природе модель этого фона ничем не отличается от только что сформулированной модели. Разница проявляется только в количественных характеристиках. В последнем случае в формуле (1.3.5) место функции Оф(сй) займет спектр лазерного излучения G({))), а интеграл должен вычисляться не по области Юш а по (Ос, соответствующей области подсвета.

С учетом обоих фоновых составляющих принимаемый световой сигнал может быть записан в виде

с(р, 0 + «ЛТ, t) + nil t). (1.3.6)

Обычно телесный угол, под которым виден объект «об, существенно меньше угла, в пределах которого воспринимается информация о мешающих объектах Юп. В результате «затеняющим» влиянием объекта на статистические характеристики фона можно пренебречь.

Учитывая зто обстоятельство, а также то, что 8(р, /), Ям(р, t) и

л(р, t) флуктуируют независимо друг от друга, приходим к выводу, что корреляционная функция сигнала (1.3.6) с хорошим приближением аппроксимируется суммой корреляционных функций каждого слагаемого, так что

kXpu Тг. 2)=КЛръ ii\ Р2, к)+Кф{ъ А; р, h)+

+ Kn(p"i, h- Тг, h), (1.3.7)

где /(е(-), /Сф(-) и /(п(-) определяются соответственно равенствами (1.2.32), (1.3.5) и (1.3.3).

Согласно соотношению (1.3.1), а также вспоминая физическую

природу формирования составляющей «м(р, t), видим, что световой фон представляет собой интегральную и дискретную сумму большого числа случайных статистически независимых между собой величин. Следовательно, в силу центральной предельной теоремы, значения фона должны с большой точностью подчиняться нормальному распределению. Основным результатом предыдущего раздела являлся вывод о том, что в подавляющем большинстве случаев

значения функции е(р, /) также оказываются распределенными по нормальному закону. Тогда и весь принимаемый сигнал (1.3.6) является нормальным. Так как нормальное распределение однозначно определяется двумя первыми статистическими моментами (средним значением и корреляционной функцией), а они уже были найдены, то, следовательно, определено полное статистическое описание принимаемого светового сигнала.

Формально полное статистическое описание любого случайного процесса задается функционалом плотности вероятностей 1[2]. Для нормального поля при <ее(р, 0> = 0 этот функционал имеет вид [8]

ры1 01=/Сехр

0 0 2 2

(1.3.8)

где К-не зависящая от реадизации 8с(, /) константа, а функция Ffpb 52, 2) определяется из решения уравнения

j J.(Pb h\l2, hWi?2, h)dP2dt2-

= 8(i-2)MTi-P3),

(1.3.9)

в котором /Сс(-)-есть корреляционная функция (1.3.7).

Принимая во внимание (1.2.32), (1.3.5), (1.3.3), (1.3.7) и считая, что мешающие объекты, создающие фон Ям(р, t), относятся к картинной плоскости наблюдаемой цели, имеем

кЛъ к\ 2, 2)=Ref ?«о(Я S-.(-Ыя: (Г-Га)е-"-X

X d« й!г + 8 (Г -Тз) 8 (il - 2). (1.3.10)

где ио(л (u)=2[u(r, (u)G((o)+Цф(г, ft))Gф(co)], причем «(л, ш) отлична от нуля только в области йо- В этой области функция иф(г, (о) в общем случае может быть как равна нулю, так и отлична от нуля.

Решение уравнения (1.3.9) ищем в виде (7„ к- 2)=Ref f Vo(7, со)ЯЛТ-;)АУ:(7-Ые-"(-)х

Xdwdr-i--!-8(Pi -p2)8(i - 2)-

(1ДИ)

Подставим (1.3.10) и (I.3.I1) в (1.3.9) и предположим, что флуктуации сигнала ес(р, t) настолько быстры, что время их корреляции значительно меньше времени наблюдения Т. Тогда можно пренебречь краевыми эффектами и считать в (1.3.9) пределы интегрирования по t бесконечными. При этом условии приходим к уравнению