точки. Тот же факт, что шероховатости хорошо аппроксимируются нормальным случайным процессом, в данном случае обусловливает нормальность случайных величин gj. Далее, если поверхность

однородна, то плоскость г может быть всегда выбрана таким образом, чтобы среднее значение 1и которое при этом условии не зависит от индекса /, было равно нулю. Далее будем считать данное предположение выполненным.

Обозначим через а дисперсию возможных отклонений значения g. Тогда плотность вероятности величины \ имеет вид су() =

=ехр( -2/2а5)/]/2ла£. Через щ{г) обозначим плотность вероят-

ности значений Г;, а через k{ri) -коэффициент отражения /-ой блестящей точки, который определяется как материалом поверхности, так и радиусом кривизны в окрестности блестящей точки. Утверждение о том, что поле создается каким-то 1-й точечным

источником с координатой г;, означает, что только в окрестности этой точки поле отлично от нуля. С учетом этого замечания и введенных обозначений комплексную амплитуду рассеянного поля для какой-то одной длины волны непосредственно около цели с точностью до постоянного множителя можно записать в виде

Е{г)=Ё[г{}к{г,)Ь{г-Гг)€-, /-1

(1.2.16)

где E{ri) -комплексная амплитуда подсвечивающего излучения в окрестности точки г,, а наличие экспоненциального множителя g-2i»E/ отражает тот факт, что разность фаз между волнами, порожденными точкой с индексом I, отстоящей на расстоянии от ило-

скости г, и точкой, расположенной непосредственно на плоскости г, равна -2kli.

Вначале предположим, что в течение времени наблюдения цель изменяет свое положение настолько незначительно, что ее можно считать неподвижной. В таком случае все эффекты, связанные с шероховатостью поверхности, сказываются исключительно на пространственной структуре принимаемого светового поля. Для излучения этой структуры достаточно рассмотреть случай монохроматического сигнала, описываемого моделью (1.1.11). Тогда комплексная амплитуда е(р) в плоскости приемной апертуры может быть рассчитана по формуле, аналогичной (1.1.47), так что

~в{р] = 1е{г)Н{г-9)(Гг. Подставляя В (1.2.17) выражение (1.2.16), получаем

(1.2.17)

(1.2.18)

Вычислим некоторые статистические характеристики этой комплексной амплитуды. В силу полной статистической независимости всех случайных величин, входящих в (1.2.18), имеем

(Z) \ (ЁСг)к){г)Н[г-9)и,{г)(Гп (1-2.19)

ХЯ(;„-р;))=() (е-)\{Е-Сг))кЧг)Н{7-ЬиСг-\)У<

X«o(r)r-f (Z(I-l)) (е--«2) J СеЧг)нСг-91)Н[г-Ъу

Xii,[r)d7; (1.2-20)

/СлТь ?2)=Й1)*(Г2)) = () 1 Ф(г)\)кЙнСг-1)Н*Х

X J I {Е{г))\k(r)Hi7-Pi)Ii*i7-P2)uo{7)d7. (1.2.21)

В силу равенств (1-1.23) имеем

(в(р))=0; 12.22)

а при ао<Ап и ра.к«:аа из последнего равенства (1.1.23) получаем

(1.2.23)

(\еСг)\)=Ке(7, Г)ЯРа.к

(Х/?)2

Подставляя (1.2.23) в (1.2.21) и вводя обозначение

находим

К,{и Т2) = j a{7)H{r-l,)H*lr-P2)d7. (1.2.24)

Важно подчеркнуть, что к аналогичному виду выражения (1.2.19) ... (1.2.21) приводятся не только в случае, когда шероховатая цель освещается сигналом типа (1.1.11). Например, независимо от статистики амплитуды Е(г) (и в частности, для детерминированного случая) сформулированное утверждение справедливо

при достаточно плавных шероховатостях, когда al Тогда значения величин

(1.2.25)

оказываются существенно меньше единицы и это позволяет в

(1.2.21) пренебречь вторым слагаемым. Далее значение всего выражения (1.2.20) оказывается существенно меньше величины первого слагаемого в (1.2.21) и поэтому его можно считать равным нулю. По аналогичным соображениям можно положить равным нулю и (1.2.19).

Обратимся вновь к выражению (1.2.18). Согласно равенству

(1.2.18) е(р) является суммой большого числа случайных, статистически независимых между собой величин. Следовательно, в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей значения комплексной амплитуды, а значит и самого принимаемого поля, с хорошей точностью подчиняются нормальному распределению. Принимая во внимание это обстоятельство, а также сравнивая

(1.2.22) и (1.2.24) с (1.1.14), видим, что все статистические закономерности поля, отраженного от шероховатого объекта, совпадают с подобными закономерностями формируемого в дальней зоне лазерного излучения, которое генерируется в режиме несинхронизованных мод. Поэтому сохраняются общие соотношения типа (1.1.47) и (1.1.48), а, следовательно, и вся физическая картина, связанная с пятенной структурой принимаемого светового сигнала.

Обычно распределение блестящих точек по шероховатой поверхности описывается гладкой функцией «о(г), которая для одно-родной поверхности вообще перестает зависеть от координаты г. Тогда, полагая и(г) = и= {L) пр1

имеем

(Х/?)2

Рои

е dr

(1.2.26)

Выражение (1.2.25) с точностью до несущественного постоянного множителя совпадает с (1.2.12). Значит радиус корреляции в данном случае определяется тем же выражением (1.2.13), а число отдельных пятен интенсивности принимаемого излучения также равно Mq (1.2.15). Все это говорит о том, что если цель имеет шероховатую поверхность, то независимо от того, сколько ярких пятен попадает на нее (т. е. больше или меньше размер ее величины

Гн) на приемной апертуре формируется поле, в статистическом смысле полностью подобное тому, которое получается, когда используется описание (1.2.1), (1.2.2), но когда выполняется условие - на цель попадает большое число ярких пятен.

Рассмотрим все изложенные результаты с несколько иной точки

зрения. Факт нормальности значений е(р) позволяет ввести более формальную трактовку процесса рассеяния. Логика проводимых

при этом рассуждений примерно следующая. Так как е(р) подчиняется нормальному распределению, то не принципиален конкретный вид функции Е(г) (1.2.16). Например, можно считать, что

Е{г) есть просто какая-то случайная функция, подчиняющаяся нормальному распределению. Если при этом она обладает следующими статистическими свойствами:

{еСг))=0; (еГг)Е (гг)) = (Е* (7,) £* (Т,)) =0; {Е{7,)Ец72)) = {Е(7:)Е(}2))=чСг1)сг,-п,), (1.2.27) где w(r)= (Z) яр1к-,*(Г}«й().то, вычислив первый и вторые моменты е(7)= 1" £(г)/У (г -p)fifr, получим выражения, которые

в точности совпадают с (1.2.22) и (1.2.24). Так как е(р) распределена по нормальному закону, то из этого следует, что статистиче-

ское описание е(р) при подобном предположении о Е{г) осталось Б полной неприкосновенности.

Такая трактовка изложенных результатов удобна по двум причинам. Во-первых, с помощью описания (1.2.26) удается естественным образом учесть статистические свойства как подсвечивающего излучения, так и излучения, рассеянного шероховатой целью. Во-вторых, с этих позиций можно легко обобщить полученные результаты для случая, когда освещается неплоский объект. Действительно, так как принимаемое поле оказывается суперпозицией отдельных парциальных полей от независимых точечных источников, то

предположение о нормальности е(р) по-прежнему выполняется. Поэтому, если в непосредственной близости от шероховатого

объекта ввести плоскость г, которую будем называть картинной

плоскостью, и в ней задать некоторую случайную функцию Е(г), удовлетворяющую тем же условиям (1.2.27), то мы, сохранив основные закономерности, по-прежнему достаточно хорошо опишем статистическую структуру принимаемого поля. При этом изменяется сама функция и{г). Очевидно, что она должна быть равна нулю вне области Qq, являющейся теперь проекцией освещаемой час-

ти цели на плоскость г. Вид функции зависит теперь не только от уже выявленных ранее факторов, но и от эффектов, обязанных объемности подсвечиваемого объекта [5].

Обобщить полученные результаты для случая, когда цель подсвечивается немонохроматическим лазерным излучением, не представляет никаких трудностей. Особенно просто это -обобщение проводится для очень важной ситуации, когда функции корреляции генерируемого сигнала представляются в виде произведения двух функций вида (1.1.44). Тогда, учитывая, что при сформулированных ранее условиях, никаких изменений во временной статистике сигнала не происходит, вместо (1.2.27) имеем

(".(i)™.p2))=«("i, »i + »o)8(ri-T2)/C„(«i, со), (1.2.28) где /Co)(coi, С02) определяется равенством (1.1.45), а

(2ncR)2

Основное соотнощение для поля на приемной апертуре (1.2.1) естественно сохраняется, т. е.

s(p, /) = Ке]/2ЯоЧР. Ое-"», (1.2.29)

теперь ~в(, /)Г Г £„(г)Я„+„,„(7-")е-"й?7й?с«, (1.2.30)

где Еа{г) - случайная нормально распределенная функция, статистические моменты которой удовлетворяют равенствам (1.2.28).

Главное отличие (1.2.30) от (1.2.2) проявляется, конечно, не в том, что в (1.2.30) отсутствует функция k. Формально ее можно было бы выделить из функции и и ввести fa (г) таким образом, чтобы соотнощения (1.2.30) и (1.2.2) полностью совпали. Главное же отличие состоит в том, что при отражении от цели с щероховатой поверхностью в независимости от статистики подсвечивающего излучения комплексная амплитуда Ео){г), входящая в (1.2.30), является нормальной случайной функцией, удовлетворяющей (1.2.28).

В соответствии с (1.2.28) и (1.2.30) имеем

КЛРи h; h, 2)=(s(Pb iiUHh, /2))=--j co)(7((o)x

X Я„ (г-"i) Hi (7 - ?;) е- С"-"») d<d7; (1.2.31) /СCpu iu "р2, h)= (s("Pi. Л)s (p2, /2)) =nRek, ("pi, k\ 7ъ 2)X .

Xexpl -icoo(i -/2)1.

(1.2.32)

Заметим, что (1.2.31) совпадает с (1.2.8), а для монохроматического излучения, когда (7(со) = S(u) -«о), (1.2.31) переходит в (1.2.24).

Обратимся теперь к ситуации, когда цель совершает достаточно быстрое движение, так что за время, в течение которого осуществляется наблюдение, ее уже нельзя считать неподвижной. В данном случае некоторые из фазовых множителей, которые были опущены в (1.1.5) и (1.1.6), уже оказываются существенными. Сохраняя теперь эти фазовые множители и считая, что вектора г и р неколлинеарны, в.место (1.1.5) имеем

жр - г) е*-*" ЯО(р, г),

Если цель подсвечивается монохроматическим излучением, то комплексная амплитуда в окрестности цели согласно (1.1.4) и (1.2.31) определяется выражением

Ёо(г) = е*-* £о(-), где £о(-) = j s,(P) Яо(р, г)й?р. (1.2.33)

Предположим, что цель представляет собой совокупность L отдельных блестящих точек, расположенных не на плоскости, а в некоторой области трехмерного пространства. Пусть /-я точка имеет

координату п и коэффициент отражения k{ri). Тогда рассеянное поле обладает комплексной амплитудой

(1.2.34)

Соответственно комплексная амплитуда поля на апертуре равна

s (7) = 2 0 (ri) k (";,)e2*«-2,-ftt; ЯО [г,, 7).

(1.2.35)

Заметим, что выражение (1.2.35) является естественным обобщением равенства (1.2.18). Будем считать, что система координат

г жестко связана с некоторым «центром» цели. Тогда движение цели приводит к зависимости от времени величины R=R{t). Значе-

ния li = vri-li(t) также оказываются функциями времени, что обусловливается, в частности, возможным перемещением зеркальных точек в систе.ме координат г. В результате для движущейся

2-441 33