л (г/ U) = я (Г1,..., г„ I /i (7, X)=-i- П У1 (7,., Г) e-f Т") (3.5,4)

первая гипотеза;

•- вторая гипотеза.

Тогда величина Z, определяемая равенством (3.4.4), имеет вид

Z = max

2 In Л (7,, "х)-у1(;Д);

- max

2 In Л (О, !)-jC, 1)dr

= max Z-i (X) - max M2 (jx).

(3.5.6)

Найдем величины Zi и Z2, аппроксимирующие величину Z. Пусть справедлива первая гипотеза и наблюдается изображение /[(г.Яи).

Тогда (X) 21" (П, К) - j Л (Я Ь d7+V (X - XJ +

(3.5.7)

: (Р) V Iп Уг (7,, jTo) - Г У2 (7 7„) rfr (р - (Го) + i-X

X(p-Po)l7i(p-H-o). (3.5.8)

где знак „т" означает транспонирование, а элементы векторов 1=Ы И= 1,..., у), 7\ = [ц] (т= 1,..., М)

и квадратных матриц Sjup), Vi={V; ] определяются выражениями

(3.5.9X

д In /2 (/-,-, Но)

rf/-; (3.5.10).

~ 2 In (/•,.. X„) Cd<?/i(r. X„)

dr, (3.5.11)

(3.5.12)

При этом Но согласно (3.5.6) находится из векторного уравнения Л(-,7„)71пУ2(/-, 7o)«fr=jvp.y2(/-, 7o)dr, (3.5.13)

где Vv- = l--1 - оператор градиента по параметрам fx.

I ф1 Фм

Заметим, что при п-оо величины g;, Цт, игр и стремятся к своим средним значениям. Поэтому при достаточно мощном сигнале (л1), а именно это условие и является необходимым для того, чтобы искомая аппроксимация величины Z была достаточно точной, матрицы Ui и V могут быть заменены матрицами Ui и Vi, элементы которых являются усредненными элементами матриц

Ui и Vi. При этом заменить векторы g и т) их средними значениями оказывается невозможным, Ибо как нетрудно

убедиться g = 0, а в силу (3.5.13) и ti = 0. Вместе с тем (gg)O,

{г]Г])фО и {1г])фО, а как будет ясно из дальнейшего, именйо порядками этих величин и определяются статистические характеристики величины Z.

Максимизируя (3.5.7) по А, и (3.5.8) по fx и подставляя полученные результаты в (5.5.6), получаем

zZi=y У -ГуЛг. х„)г+Гу2(7, Го)г-

(3.5.14)

где элементы векторов и т) определяются выражениями (3.5.4), (3.5.10), а элементы матриц Ui и Vi согласно сделанному замечанию равны

„ - ,7 Г / Г,- ln/i(r, Z) С d2Ji(r,K)

u.p-u,,-jA(r, x>>-----dr-\ ---.dr-

= [j,ir, XJ ""•("" "("> rfr; (3.5.15)

Обратим внимание на то, что матрица Ui точно совпадает с обратно корреляционной матрицей ошибок эффективных оценок к неизвестных параметров к.

Если в действительности имеет место вторая гипотеза, т. е. наблюдается изображение Jzir, Ци), то величина Z приближенно равна величине Z2, которая определяется выражением, аналогичным

{3.5.4), но в котором всюду следует поменять jxo на а Ли на ко. При этом ко определяется из уравнения

j Л 14,) Vx„ In J, (7, Го) rfr = j vx,A (r, Го) dr, (3.5.16)

где Vx„- оператор градиента по параметрам ко-

Перейдем теперь к расчету статистических характеристик вели-

чин Zi и Z2. Каждая из компонент векторов g и т] является суммой большого числа независимых между собой случайных слагаемых (п1), и поэтому с достаточно хорошей точностью эти компоненты можно считать нормально распределенными случайными величинами. С учетом этого предположения нетрудно, воспользовавшись известными методами, найти аналитические выражения для характеристических функций величин Zi и Z2. Опуская традиционные, но в данном случае чрезвычайно громоздкие преобразования; мы ограничимся тем, что сформулируем лишь окончательный результат- как следует из анализа характеристических функций величин Zi и Z2, при достаточно мощном сигнале {гё»1) распределения величин Zi и Z2 достаточно точно аппроксимируются нормальными распределениями с параметрами

Z=\Air,X)lnldr-hAr, K)dr+{Mr; H)dr-- j (г, XJ [a (r) a (r) - (r) Wa (/)] dr, (3.5.17)

где a(r)={a;(r)} и a(/-) = {a(r)) -векторы-столбцы с компонен-

, , с» In 7i (/, л„) тами а I (г) =-J--i-

{ll,...,L); a(r)=-illii((m=l,...,yM).

+ j pl {rl)Jx {Г2, X„) {a (ri)ur a {r.,)-a{r,) \, a {rW X

Xdrdr- (3.5.18)

Z2 = f (z-, "?и) ь У dr-\j,{r, хо)rfr-f

+ f Л(-. tJ rf/- - -f f Л (/, "?и) l* ir) »Tb (r) - r (/) v? (/)] rfr;

(3.5.19)

a2=(zi-Z2)2= f У2 (r, ;„) (in +±b (r) (/) -

J рт r) vi-p (r) rf/- + -f jj" (1.1и) Л (/"2, "?и) { (ri) »2b (/-2) -

- r (Л) Vr? (Г2))МГ2, (3.5.20)

где b{r) = {bi{r)} и P(/-) = {Pm()} - векторы-столбцы с компонен-

тами

Ь,{Г) = Щ{Х\,...,1);

U2 и V2 квадратные матрицы, элементы которых равны

f Л ir, "f-" liilZi(-b)rf,. (3.5.21)

При этом вероятности правильного распознавания, когда верна первая гипотеза Pi и когда верна вторая гипотеза Рг соответственно равны

/ С -Za

Я,= 1 -Ф

(3.5.22)

где С - порог сравнения, Ф(-) - интеграл вероятности.

Из соотношений (3.5.15) и (3.5.21) следует, что элементы матриц u7\ VTii, } обратно пропорциональны величине регистрируемой интенсивности n=J{r)dr, а элементы векторов

а (г), «(/-), 6 (г) и р(г) не зависят от п. Поэтому с точностью до величин порядка п выражения (3.5.17) ... (3.5.20) приводятся к следующим простым соотношениям:

Zi={j: (г, К) In У dr-\j, (г, XJrfr + ГУ2(г, H)dr; J2 = f л ( Ри) In "У rfr- Г л (г, Го) rfr + Г /2 (г, 7jdr;

(3.5.23)

Air, К)

Ji(r. fa) 12

/iCr, Xo)

Вспоминая выражения (2.5.3) и (2.5.4), видим, что значения Zi, Ог, совпадают с теми, которые получаются для случая простой двухальтернативной гипотезы, когда в качестве первой гипотезы

принимается /[(г, А,и), а второй -/2( Ы- Значения Z., соответствуют аналогичной ситуации, но когда первой гипотезой является /i(-,"Io), а второй- /2(/-, Ни)- При этом вероятности правильного распознавания по-прежнему определяются выражениями (3.5.22). Следовательно, полученный результат можно интерпретировать следующим образом: при достаточно мощном сигнале расчет статистических характеристик алгоритма распознавания (3.5.6) может быть сведен к расчету аналогичных статистических характеристик алгоритма, соответствующего простой двухальтернативной гипотезе, для формирования которой отбираются наиболее похожие между собой изображения из всех тех, которые входят в сложную гипотезу. Критерий похожести этих изображений устанавливается соотношениями (3.5.13) и (3.5.16). Аналогичный критерий похожести можно получить и для любых других эталонных образцов.

3.6. Распознавание по форме импульса рассеянного целью импульсного сигнала

Наряду с анализом пространственного распределения полей и интенсивностей лазерного локационного сигнала для извлечения информации об объекте представляет интерес и временной анализ амплитуды или интенсивности рассеянного излучения. Наиболее простые представления об использовании временного анализа сигнала относятся к случаю локации цели импульсным излучением с длительностью импульса, сравнимой или меньшей протяженности цели в направлении зондирования. При этом интенсивность / it) принимаемого сигнала в каждый момент времени определяется рассеянием от «слоя» объекта, протяженность которого равна половине протяженности импульса. В результате зависимость / (i) можно связать с формой объекта и его отражательными характе-

ристиками. В простейшем случае использовать эту информацию для распознавания можно сравнением J(t) с известными эталонными зависимостями.

Однако из результатов, изложенных в разд. 1.2, следует, что импульсные сигналы от реальных объектов имеют сложную пространственно временную структуру и флуктуационный характер. Все это с неизбежностью должно наложить отпечаток на структуру обработки сигнала, алгоритма распознавания и оценку их эффективности.

Остановимся вначале подробнее на физической иллюстрации статистических свойств импульсных сигналов, сформулированных в разд. 1.2. Для этого обратимся к результатам статистического моделирования, которое проводилось на ЭВМ с «наигрыванием» значений всех случайных параметров в соответствии с законами распределения, приведенными в разд. 1.2. В качестве иллюстрации рассмотрим реализации, соответствующие переднему фронту сигнала при облучении наклонной плоскости прямоугольным протяженным импульсом. На рис. 3.5 показано изменение средней интенсивности, соответствующее рассеянию такого сигнала, и одна из реализаций. Видно, что флуктуации в реализации сравнимы по величине со средним значением. Временной масштаб флуктуации изменяется по мере нарастания </()>. В начале сигнала флуктуации относительно быстрые, но постепенно их временной масштаб становится сравним с длительностью фронта, что соответствует (1.2.53). На рис. 3.6 показано развитие пространственного распределения интенсивности на апертуре при тех же условиях. Параметры модели были выбраны так, что к моменту =100 на апертуре и=1й укладывается 40 расчетных радиусов корреляции интенсивности. Видно, что изменения среднего размера и числа пятен интенсивности по мере увеличения рассеи-

в /л

Рис. 3.5. Форма переднего фронта отраженного прямоугольного импульсам - среднее значение интенсивности; 2 -реализация

Рис. 3.6. Пространственное распределение интенсивности фронта прямоугольного, импульса в плоскости приемной апертуры:

* -<=8; 2-t = i8; 3 - t=42