имеет следующую структуру: истинная гипотеза Яи принимается в том случае, если величина

Z = max In Pl (г/1X) - max InPiylJ) (3.4.4)

оказывается больше некоторого порога С, а при выполнении обратного неравенства принимается вторая гипотеза Яд. Величина порога С зависит от цен ошибок и априорных вероятностей гипотез. Заметим, что под частью компонент векторных параметров К

и р можно формально понимать целые эталоны, так что правило (3.4.4) при выполнении соответствующих условий имеет общий характер в независимости от конкретного способа описания априорной информации.

Принципиальное различие в формировании величин (3.4.4) и (3.4.2) состоит в том, что в величине Z присутствуют процедуры максимума, которые фактически соответствуют нахождению оценок максимального правдоподобия для двух различных гипотез. Параметры, для которых удается построить оценки максимального правдоподобия в аналитической форме, могут быть исключены из продедуры нахождения максимума, осуществляемой в процессе принятия решения. Практически это означает, что в общей алгоритмической схеме должны бать введены подалгоритмы, позволяющие вычислять по принимаемому сигналу соответствующие оценки. Принципы построения таких алгоритмов и их синтез для некоторых наиболее важных параметров изложены в [12, 32], а результаты по их дальнейшему усовершенствованию приведены в [41].

До сих пор рассматривалась ситуация, когда относительно классов истинных и ложных целей имеется полная априорная информация. В том случае, когда эта информация является неполной и оказываются неизвестными вероятности ш(5,), теория статистических решений [32] рекомендует в качестве оптимального правила принимать минимаксное решение, при котором искомая область ) и* определяется из условия

г (Г*, 5)=mlnmaxr(r„, S).

Im 5

(3.4.5)

Нахождение минимаксного правила является в каждом конкретном случае сложной математической задачей, для решения которой чаще всего приходится прибегать к весьма искусственным способам. Пожалуй единственный более или менее общий метод может быть развит из фундаментальной теоремы Вальда [32]. Основное утверждение этой теоремы сводится к тому, что минимаксное решение является байесовым относительно некоторого априорного распределения w*{S). При этом оно, с одной стороны, максимизирует минимальный средний риск, вычисленный при использовании правила (3.4.2), а с другой-при этом же правиле обеспечивает условный риск /"(Уи*, S), одинаковый для всех образцов S, которые согласно w*{S) имеют ненулевую вероятность. В соответствии с этим утверждением может быть сформулирован следующий метод

нахождения минимаксного решения - из полной совокупности эталонных образцов S выделяется некоторое подмножество So, на котором задается такое априорное распределение, что условные риски для всех SeSo оказываются одинаковыми и равными /"о- Если при этом условные риски для всех образцов SeSo меньше Го, то это означает, что эталонам SeSo может быть приписана нулевая априорная вероятность, так как именно в этом случае достигается максимум среднего риска.

Пронумеруем эталоны таким образом, что первые N, описывают класс истинных целей, а остальные N-Ni - класс ложных целей. Зададимся наиболее простым априорным распределением, сосредоточенным только на двух каких-то эталонах, принадлежащих разным классам, так что w* (S) =Wob{S-Sj) + (1-Wo)X X6(S-Sj) (l/yVi, Ni + li<cN). Пользуясь описанным методом сформулируем условия, когда это распределение является наименее предпочтительным. Заметим, что в этом случае правило (3.4.2) сводится к проверке неравенства Ао{у) =Piy\Sj)IP{y\Si)> >С, где С= {\-Wo)v{Si)JwoU{Sj), а Wq определяется из условия o{Si)=ri{Si). Обозначая через Р(1пЛо5) плотность вероятности 1пЛо(г/), при условии, что наблюдается цель S, приходим к следующим сотношениям: с

roiSj)=u{Sj) J Р(1пЛо5;)й?Ло=г»(5,) JP(lnAo5;)«fAo=/-i(5J;

-оо с

ro(SJ=bu(S,) J Р(1пЛо5г)й?Ло<Го(5,-), 1=1,..., N,, 1ф};

(3.4.6)

Л(5,)=г»(5Л Р(1пЛо15,)й?Ло<г,(5;), /=7Vi+1,..., 7V, I фi,

вьшолнение которых согласно теореме Вальда и обеспечивает минимаксность найденного правила.

В качестве примера рассмотрим к чему сводятся условия (3.4.6), когда эталонами являются обычные оптические изображения, так что Si=}i{x, у), и когда регистрируемые изображения удовлетворяют пуассоновской статистике. В этом случае описание задается распределением (2.5.1), так что

/ (а • Уа) d

Р (У I Si)

-[-JJy,-(A:, y)dxdy.

(3.4.7)

и в силу наличия суммы по большому числу (п>1) случайных величин плотность вероятности Р(1пАо/г) достаточ1Ю точно ап-

проксимируется нормальным распределением. Параметры этого распределения определяются аналогично (2.5.3) и (2.5.4) и равны

nh (-- у) р п

Ji (-. у) In ---- dxdij - Jj (л;, у) dxdy + J .{X, у) J J

1.(х, у)

(3.4.8)

Уу(. У)

f.{x, у)

dxdy.

Предположим, что потери, связанные с принятием неправильного решения, не зависят от номера эталона, тогда с учетом сделанных

<1.ОТ. + а.от

замечании находим, что порог сравнения равен С-

а соотношения (3.4.6) преобразуются к виду С -от, т, - т..

С - от.

<

>

от.-от.

/ = 7Vi + l,...,7V, 1ф1.

(3.4.9)

Сушественным моментом в рассматриваемой методике является не только то, что с ее помошью удается построить минимаксное правило, но и то, что этой методикой можно воспользоваться для рационального уменьшения числа эталонов. Действительно, как следует из предыдушего примера, если для двух заданных классов эталонных изображений оказывается возможным выделить такие два изображения, что для всех остальных вьшолняются соотношения (3.4.9), то тем самым этих эталонов оказывается вполне достаточно, чтобы описать всю первоначальную априорную информацию. Практически исходная априорная информация оказывается более богатой и для ее описания необходимо оставлять сушествен-но большее число эталонов. Для этого случая можно выписать по аналогии с (3.4.6) более обшие условия, однако точно удовлетворить им часто не удается. Вместе с тем для любой заданной совокупности эталонов можно всегда выделить такое их подмножество, для которого соответствующие соотношения будут выполняться (в некотором смысле) наилучшим образом. Это подмножество, суммарное число элементов которого выбирается из учета технических возможностей реализации алгоритма и может быть использовано в качестве сокращенной априорной информации.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда априорная информация известна только относительно класса истинных целей. Соответствующий оптимальный алгоритм был разработан в [41] и сводится к

нахождению максимума функционала правдоподобия Р{у\к) по

всем неизвестным параметрам % и сравнению получаемого максимума с порогом:

Y = mP{y\i)yC. (3.4.10)

Величина порога выбирается таким образом, чтобы вероятность принять истинную цель за ложную не превышала заданной критической величины. В том случае, когда априорная информация задается не только в параметрической форме, но и через набор эталонов, максимум отыскивается вначале по параметрам % для каждого условного функционала Р(у\%, Si), а затем по всем эталонам Si. Что касается вопроса перехода от эталонного описания класса истинных целей к чисто параметрическому, то эта задача решается совершенно аналогично предыдущему случаю с той лишь разницей, что система функций обобщенного ряда Фурье определяется иа основе разложения Карунена-Лоэва, использующего априорную информацию только об эталонах истинного класса.

Обратим теперь внимание на то, что построение системы Карунена-Лоэва решает только часть общей проблемы перехода к параметрическому описанию, ибо остается еще не выясненным вопрос, сколькими членами этого разложения можно ограничиться для описания исходной информации. В случае, когда имеется полная априорная информация, этот вопрос может быть решен на основе анализа эффективности распознавания. Однако при отсутствии информации о ложных целях такая возможность, естественно, исчезает и поэтому приходится прибегать к некоторым дополнительным соображениям. В частности, очевидно, что выбрать требуемое число членов можно основываясь на анализе точности описания отдельных эталонов.

В лазерной локации, когда принимаемая информация имеет ярко выраженный статистический характер, подобный подход оказывается особенно оправданным. Действительно, в данном случае отдельные коэффициенты определяются лишь с некоторой точностью, так что увеличение их числа приводит к увеличению информации о регистрируемом сигнале лишь до некоторого предела, после которого прирост информации нивелируется возрастанием флуктуационных ошибок.

3.5. Методы оценки эффективности алгоритмов распознавания

Рассмотрим некоторые аспекты общего подхода к расчету вероятностей распознавания для алгоритмов, реализующих правила (3.4.4) и (3.4.10). Выбор именно этих алгоритмов обусловливается тем, что с одной стороны, они отвечают наиболее важны.м практическим ситуациям, а с другой - они перекрывают весьма широ-

кий диапазон возможных априорных сведений, что позволяет выявить их влияние на качество распознавания.

Остановимся вначале на алгоритме (3.4.4). Величина Z является случайной и анализ эффективности этого алгоритма сводится к нахождению ее распределения при условии, что имеет место соответственно первая или вторая гипотеза. Найти точные распределения величины Z удается лишь в некоторых весьма частных случаях, что

обусловливается прежде всего сложной зависимостью Pi(y\K) и

P2(y\li) от векторных параметров X я ц. Поэтому воспользуемся приближенным методом [41], позволяющим найти достаточно хорошую аппроксимацию величины Z, причем точность этой аппроксимации возрастает с увеличением мощности принимаемого сигнала.

Для реализации этого метода необходимо прежде всего выбрать некоторые точки К к ц, близкие к ожидаемым значениям, обеспечивающим шах In Pj (г/1 X) и шах In Яд (У к)- Пусть имеет

место первая гипотеза, так что у описывается Pi (у"1и), где 1и - истинное значение неизвестных параметров Я. Тогда в качестве таких точек целесообразно взять Х=Кш и ц = цо, которая обеспечивает максимум среднего логарифма функции правдоподобия 1пР2(г/[х). Следовательно, цо удовлетворяет условию

max \1п Яг {уiН-)/ = In Р2 {у i Ы,

(3.5.1)

где усреднение проводится по Pi{y\Xu), и поэтому цо зависит от ка.

Нетрудно убедиться, что именно около этих значений группируются распределения вероятности для оценок максимального правду -у -у

доподобия к я 11, обеспечивающих inaxPi(yX) и тахЯ2(У1*)*

-у -у

Причем с ростом мощности принимаемого сигнала эти значения к

-у -у -у

и fx стремятся соответственно к и \io.

Предполагая далее, что логарифмы функций правдоподобия, соответствующие обоим гипотезам, дважды дифференцируемы по

л и II, разложим lnPi(y) и \п Р2{у\ц) в ряды по степеням к-Хи

и [х-Ро и ограничимся членами не выше второго порядка. При та-

-У -у -*

ком приближении легко найти max In Я; (г/1X) и maxln 2(2/[Н-)-

а) (V)

Подставляя эти значения в (3.4.4), находим выражение для Z=Zi, аппроксимирующее точное значение Z, когда имеет место первая

гипотеза с параметром к=Ха-

В случае, когда имеет место вторая гипотеза, т. е. у описывает-

ся распределением Р2{у\\1и), где [Хи -истинное значение неизвестных параметров х, в качестве искомых точек по аналогичным соображениям целесообразно взять ц = ци и к=ко, которое удовлетворяет

тх In Pl (у iX) = In Pl (у iХ"). (3.5.2)

Так как усреднение в (3.5.2) проводится по р2(/[Хи), то получаемое из (3.5.2) значение ко зависит от конкретного значения ц.

Разлагая теперь In р1(Г[Г) и In р2(г/1) в ряды по степеням Я-Яо и fx-tin и по-прежнему ограничиваясь членами не выше второго порядка, находим max In Pl (г/1X) и maxln р2(г/1 (j-).

Подставляя эти варианты в (3.4.4), находим выражение для / = /2, аппроксимирующее значение Z в том случае, когда имеет место

вторая гипотеза с параметрами [х = [Хи. Полученные таким образом приближенные выражения для Z (Zi и z2) свободны от процедур max и max и поэтому их распределения могут быть найдены извест-

ными методами классической математической статистики.

Описанная методика целиком применима и в том случае, когда информация о втором классе полностью отсутствует (свободная альтернатива), и алгоритм распознавания синтезируется на основе соотношения (3.4.10). При этом для расчета соответствующих вероятностей можно вновь воспользоваться аппроксимацией величины У, аналогичной аппроксимации, примененной для величины Z. Причем, если справедлива истинная гипотеза с параметром Яи, то

-у -у -у

\пР(у\к) разлагается в степенной ряд около точки Яи, а если ложная и она описывается плотностью вероятности {у), то около точки Яо, определяемой из условия

max j SP Q) In P Су \ XJ dy=j SP Су) Ь P (у h) dy. (3.5.3)

Для выявления ключевых моментов сформулированного метода, применим его для расчета эффективности распознавания произ-

вольных распределений интенсивности Ji{r, Я) и /2(г, где Я и fx

векторы с размерностью L я М соответственно. Функции /i (г. Я) и

J2{r, fx) могут описывать обычные оптические изображения, образы, восстановленные из голограмм интенсивностей и т. д. Для определенности предположим, что процесс регистрации оптической информации приводит к пуассоновской статистике, так что реализация

У={г1, Гп} описывается плотностью вероятности