когда она освещается лазерным излучениемнарушенной пространственной когерентностью. Эта интенсивн(?сть представляет собой результат сложения всех возможных реизаций интенсивностей, возникающих при различных случайнь!-/ соотношениях между фазами всех генерируемых мод. О том, кк каждая конкретная реализация световой интенсивности отличается от средней интенсивности, указывают результаты анализа соотношений (1.1.26) и (1.1.27).

В разных корреляционных ячейках, отстоящих друг от друга на расстояние, большее 2гк, статистическая связь между значениями интенсивностей распадается, так что эти значения могут отли-

чаться друг от друга на величину порядка aj{r). В силу равенства (1.1.26) эти колебания оказываются чрезвычайно существенными. Следовательно, если освещаемая область содержит М° корреляционных ячеек, то распределение интенсивности в пределах этой области оказывается состоящим из примерно стольких же независимых друг от друга значений. А так как эти значения сильно флуктуируют, то в результате освещенная область представляет собой совокупность отдельных пятен, случайно расположенных и имеющих случайную форму. В среднем по интенсивности эти пятна про-модулированы функцией (1.1.18) и характеризуются средним линейным размером 2гк. Интересно, что этот размер совпадает с размерами того пятна, которое соответствует дифракционной расходимости -идеально плоской волны с области Qa.

Заметим, что при упрощении формул (1.1.18) и (1.1.24) был рассмотрен случай статистически однородного пространственного распределения. Обычно имеющее место отклонение от однородности сводится к появлению плавной зависимости от р функции fa(p) (1.1.15) и к незначительному увеличению радиуса корреляции рл.к при смещении к краям генерируемого пучка.

Можшо показать, что учет подобных отклонений приводит к незначительным уточнениям равенств (1.1.22) и (1.1.28), так что как оценочные эти соотношения оказываются вполне пригодными и для более общих ситуаций.

Перейдем теперь к обобщению модели лазерного излучения (1.1.1), когда нарушается его монохроматичность, а пространственная когерентность сохраняется. Частоты, на которых происходит лазерная генерация в многомодовом резонаторе, практически эквидистантны. Например, для ipesonaropa Фабри-Перо расстояние между частотами соседних мод равно Q=nc/L, а сами частоты пред-

ставимы в виде 4i-4iQ-{-~{2n.-\-\-N)Q, где L -длина резонатора; шо -средняя частота; jV -суммарное число мод; п=1,..., N. Поскольку средняя частота соо гораздо больше ширины спектра А(ао= {N-1)Q, генерируемое излучение можно представить в виде квазимонохроматической волны;

(1.1.30)

Выражение (1.1.30) является естественным обобщением (1.1.1) и в отличие от последнего, где ва не зависело от времени, появившееся здесь Ea{t) представляет собой узкополосный случайный процесс. При большом числе мод процесс (1.1.30) является нормальным. Это означает, что и комплексная амплитуда еа(0 также распределена по нормальному закону. Ее среднее значение равно нулю, а время корреляции может ыть оценено по формуле [2]

т,.,4/Лд=-2Го/лЛ, (1.1.31)

где Го=2я/й -период межмодовых колебаний.

В формуле (1.1.31) не учитывается упоминавшийся ранее эффект- каждая отдельная мода имеет некоторую конечную ширину спектральной линии Дм. Однако в обычных ситуациях межмодовый интервал й>>Дсй, так что вклад подобного уширения пренебрежимо мал.

В случае непрерывной генерации многомодового излучения слу-чайный процесс еа(р, t), а следовательно, и комплексная амшлитуда ea{i), часто с хорошим приближением удовлетворяют условию стационарности. Тогда, как и всякий стационарный случайный процесс,

сигнал Ва(р, t) характеризуют спектральной интенсивностью G(cu), которая связана с его корреляционной функцией /С((т) (t=i-2) преобразованием Фурье

-Ьоо

0(ш) =

Kt (t) e-vr.

(1.1.32)

Через спектральную плотность 0(0) корреляционная функция Kt{x) комплексных амплитуд ва() выражается следующим образом:

Д-г)=е,(1)"а(1 + т) = е-»о Г G(co)e-wa). (1.1.3-)

Заметим, что в отличие от усреднения по пространству, которое обозначалось угловыми скобками, усреднение по времени будем обозначать горизонтальной чертой.

Если многомодовый лазер работает в импульсном режиме, то случайный процесс (1.1.30) становится существенно нестационарным. Тем не менее, если длительность импульса Ти существенно превышает время корреляции Тл.к, то в пределах интервала наблюдения сигнал можно по-прежнему считать стационарным.

Все рассмотренные выше случаи многомодового излучения относились к ситуации, когда каждая мода имела свою случайную фазу. Такой режим генерации называется режимом несинхронизо-ванных мод. Однако существуют и другие режимы, при которых фазы отдельных мод оказываются частично или полностью связаны между собой. Такие режимы называют режимами частично синхро-

низованных мод или соответственно - режимом синхронизованных мод. /

Для синхронизованных мод поле Е(г, 0 представляет собой регулярную функцию. В частности, если фАзы и амплитуды всех мод одинаковы, то лазерное излучение представляет собой последовательность импульсов длительностьюTH=n/jV 2и с периодом повторения Го=2л/й, равным периоду межмодовых биений. Таким образом, при одной и той же ширине спектра AfNQ в зависимости от фаз мод имеем либо практически нормальный случайный процесс, либо последовательность регулярных импульСов. Причем подбором свойств резонаторов может быть достигнута большая величина NQ, что позволяет генерировать чрезвычайно короткие импульсы. Так, в твердотельных лазерах и лазерах на красителях при синхронизации мод удается генерировать световые импульсы длительностью до 10~... 10- с.

В случае частично синхронизованных мод процесс Е{г, t) является случайным. Его статистические свойства существенно зависят от характера частичной синхронизации. Если, например, фазы всех мод по-прежнему принимают случайные значения, но они распределены на интервале, меньшем чем 2л, то многомодовый процесс является периодически нестационарным.

Обобщая все изложенное ранее, нетрудно составить описание лазерного излучения, учитывающее и пространственные флуктуации и отклонение от монохроматичности. По аналогии с (1.1.11) к (I.I.30) вместо (1.1.1) имеем

е, (р, t) = Re У2РЛ (р о е-»".

(1.1.34)

В силу медленности функции еа(р, t) по сравнению с е получаем г г

Я.--гСj(e(;,/))flf>=p,j {\BSm<~pdt, (1.1.35)

откуда следует, что

\ f(K(P

,tf)d9dt=l.

(1.1.36)

Так как согласно равенствам (1.1.4) ... (1.1.6) при отыскании поля в дальней зоне Е{г, t) каждая частотная компонента преобразуется со своей весовой функцией Н (р-г) =Н(р-г), то для того, чтобы теперь выписать соотношение для Е(г, t), необходимо временной сомножитель в (1.1.34) представить в виде интеграла Фурье

Sa (р, е-"»: (р) tr"df>.

(1.1.37)

Тогда в полной аналогии с (1.1.4) имеем

Е (7, ) = Re [ J (?) (Т-г) е--рйсо. (1.1.38)

Для того, чтобы (1.1.38) представить в виде (1.1.11) или (1.1.30),

удобно вместо еш(р) ввести спектральные амплитуды еа(р, t), которые определяются равенством

\{9,t)==] £jp)e-""flfc». (1.1.39)

Сравнивая (1.1.39) с (1.1.37), видим, что e<„=s*o+™ Поэтому, сделав замену переменных в (1.1.38), получаем

Е (г, t] = Re V2P,E t) е-"», (1.1.40)

(1.1.41)

Для многомодового излучения, генерируемого в режиме несин-.хронизированных мод, поля еа(р, t) и Е{г, t) являются нормальными, а комплексная амплитуда еа(р, t) удовлетворяет соотношениям, аналогичным (1.1.14):

(е~а(р, ))-0;

{4(91, к)ч(р2, 2))=0;

(1.1.42)

s(pl. Р2. 2)=(ea(Pl, l)ea(p2, 2))-

Часто оказывается, что функцию Кг(-) можно аппроксимировать в виде произведения пространственной Кр и временной Kt корреляционных функций так, что

s(pl. 1. Р2. 2) = р(рь p2)Ktitu h)-

(1.1.43)

Если излучение пространственно однородно и стационарно, то (1.1.43) принимает вид

К. (Pl -2, h - h)=K Р (р - h) /с. (D - l)-

(1.1.44)

В этом случае для спектральных амплитуд еи(р) имеем следующие равенства:

(e<.i(Pi)Su.2 (Р2))=0;

+ 00 +0О

<s.i(Pi) el2(p2))-=-p(Pi-p2)

=/Cp(pi -p2)A«{"i, "г), 2 С

где Ki<v "2) = - (3((o)S(coo -ш-[-ш1)8(шо -» + ")2)flu, (1.1.45)

л t, 0

a переход к последнему равенству был сделан в предположении о справедливости соотношения (1.1.33).

Приведенные выражения позволяют определить корреляционную функцию комплексных амплитуд Е{г, t), которая равна

Ке(гь и"г2,)= j (Sa,.(Pl)C(P2)) <«. + а.Л1 -1) X

2, 2. -oo -00

X Ml+a,, {Р2-г2)6-".+"diod<dpidp2=-

>p(Pi-p2) X

X G (ш) ЯЛ Pi - r 1) я: (P2 - Г2) eC-o) (-.) afcoflTpjcf (1.1.46)

Соотношение (1.1.46) является обобщением (1.1.23) и так же как последнее позволяет провести все необходимые исследования

о статистических свойствах распределения интенсивности /(г), которое по аналогии с (1.1.35) равно 1{г)=Ря\Е{г, t)\. Для нормального поля Е(>\ t) сохраняются (при естественном обобщении) и равенства (1.1.24) и (1.1.26), т. е.

Kj{r,, h- г„ h) = \Pj<e{r,, Л; Г2,/2)Р;

(г, t)=VKj{r, t- л /)= {J{r,t)).

(1.1.47) (1.1.48)

Так как средняя частота соо гораздо больше ширины спектра Асоо, то нетрудно убедиться, что все выводы, сделанные ранее при рассмотрении пространственно некогерентного излучения, о величинах Гп и Гк и о физической картине распр,еделения интенсивности в зоне цели остаются справедливыми и в данном случае. Конечно все эти выводы относятся к некоторой длине волны излучения Х, определяемой средней частотой юо. Проиллюстрируем это утверж-.яение на примере вычисления величины Гп.

Из (1.1.48) и (1.1.46), а также принимая во внимание, что

G{M)dw= - P, находим

j {JiP,t))dr = 2 j j f к, ih -P2) О Н j Я„ (1 -7) Hi (Г2 - г) X

X drdpidp2dui

f р(0)й?"р То(ш)й?(. i о

= ЯХр(0)5з. (1.1.49)

Вспоминая о малости радиуса корреляции р,( и считая излучение изотропным, получаем

(/(0,))=25, K,{p)dp 0(ш)

В соответствии с (1.1.20) имеем

(2itc/?)2

d. (1.1.50)

9 с <й2

(2лс/?)2

Для того, чтобы получить представление о величине АГп, предположим, что для положительных частот G((u)=0 везде, кроме области «о-Y <"о+-у- где G((u)=f л/2А«о. Так как До)о<сйо, то

О (со).

(2тсс/?)2

d=-p

I р.

12 J (2ясЯ)2 2 (Хо/?)2

. (1.1.52)

Подставляя (1.1.52) в (1.1.51) и извлекая квадратный корень, приходим к выражению, в точности совпадающему с (1.1.22) при

Подытоживая все изложенное ранее, следует обратить внимание на то, что в зависимости от особенностей генерируемого лазерного излучения оно может описываться разными математическими выражениями (1.1.1), (1.1.11), (1.1.30), (1.1.34). Входящие в эти выражения величины и функции могут быть как детерминированными (с точностью до отдельных случайных параметров, например, начальной фазы электромагнитных колебаний), так и (что гораздо чаще) могут принимать случайные значения.

При обсуждении обобщенной модели лазерного излучения (1.1.34) учитывалось, что часто справедливо соотношение (1.1.43). Для лазерного излучения с такими когерентными свойствами во многих случаях эффекты временной и пространственной когерентности можно рассматривать по отдельности. Объясняется это тем, что пространственные масштабы, на которых проявляются эффекты временной и пространственной модуляции, сильно различаются. В частности это было показано на примере вычисления значения