В(р) =

2k R

Ф(P) = argSo(p) + 2, Pi (Pi, P) flPi ( f f Ip"iX5 (Pi, P2) d7id92-

Для большей наглядности и простоты дальнейших исследований рассмотрим одномерный случай и предположим, что цель находится в зоне Фраунгофера, и что фазовые флуктуации ф(а) имеют экспоненциальную функцию корреляции: К.(р) = а1". Обозначим через р отношение XqIR, а через 2а - размер апертуры и введем функцию W{vi, §), связанную с K(v) соотношением

J R{v-Vi)W{v,dV = v, (3.2.2)

Тогда (3.2.1) можно для координаты р представить в виде

k\ vg (v) dv

(3.2.3)

Решение уравнения (3.2.2) для экспоненциальной функции корреляции [8]

2 [4v+a]~Hv-a)\. (3.2.4)

Усредняя р по ансамблю фазовых флуктуации и учитывая выражение (3.2.4), убеждаемся, что р = р, т. е. оценка является несмещенной, а ее дисперсия

а а

J J g(vi)g(v2)R{Vi - v2)dVidV2

vg(v)dv

k I vg{v)dv

3a..

(3.2.5)

Согласно [49] дисперсия флуктуации фазы волны, распространяющейся в турбулентной среде, пропорциональна радиусу корреляции этих флуктуации, так что о = у.а, причем величина х имеет 118

Таблица 3.1

порядок OiikL, где Оц преломления среды, L-но переписать в виде:

дисперсия флуктуации коэффициента длина трассы. Тогда формулу (3.2.5) мож-

(3.2.6)

2 2

За = 00

За2 + За -1-1

a = aja.

При фиксированных длине трассы и размере апертуры величина стo также фиксирована. Тогда в соответствии с (3.2.6) величина Ор зависит только от а, т. е. от отношения радиуса корреляции флуктуации к размеру апертуры. Когда а-0, то согласно (3.2.6) 052 тоже стремится к нулю. Физически это объясняется тем, что при уменьшении а не только происходит сглаживание фазовых флуктуации, но одновременно с этим уменьшается их дисперсия. При и-оо стр2->-ао причем величина стo является максимально возможной дисперсией ошибки при всех а. В табл. 3.1 собраны более подробные данные о зависимости OD2/стo от а.

Чтобы выяснить физический смысл оптимальной обработки, вновь обратимся к выражению (3.2.3). С использованием (3.2.4) формула (3.2.3) может быть разбита на сумму двух слагаемых:

р=:р; + р2=Л j ф(х))й;х) + 5[ф(а)-.М-й)], (3.2.7)

За,„

1-[ I а За,.

Несложный анализ приводит к следующим закономерностям:

2 2 2

a<p/a->0, тогда (Pi)cp-P, (2)90, pi-op, зрг-О;

а/а-.О, тогда (Pi)cp -О, api->0, арз-ор.

Следовательно, в крайних случаях, аа, аа, основными величинами, описывающими оптимальную обработку, являются соответственно Pl и Рг.

Заметим, что при аф<с процедура Pi представляет собой оценивание среднего угла наклона фазового фронта по отношению к апертуре. Интегрирование «быстрых» по сравнению с а флуктуации хорошо сглаживает их, результатом чего является уменьшение ошибки при aJa-0. Когда аф>а, процедура Рг также фиксирует угол наклона фазового фронта по отношению к апертуре. Однако в этом случае флуктуации являются «медленными» по сравнению сои только в среднем по ансамблю этих флуктуации Заказанная процедура дает правильную информацию об угле наклона. Естественно, что ошибка измерения в данной ситуации возрастает. В общем случае оптимальная обработка включает в себя формирование и Pi и Рг, что и позволяет оценивать средний угол наклона фазового фронта к апертуре при произвольных значениях Oq,/a.

Сравним качество рассматриваемого алгоритма с точностью, обеспечиваемой традиционным алгоритмом, когда оценка р строится по центру тяжести пятна, сфокусированного в фокальной плоскости лазерного локатора. Тогда, воспользовавшись соотношением (12) из [4] находим, что при сформулированных в настоящем разделе условиях дисперсия такой оценки

о2 4

C2F2

Sign (ti - V2) sing {V3 - v) X

где c =

Xe-*l".-"»i-*i3-f4i(/t)i(/t;2(/My4, -, F - фокусное расстояние;

(3.2.8)

n,=--R {V, - г;,)=ехр f-Jlil

Предполагая, что Оф2<с1, разлагаем экспоненту в степенной ряд и, ограничиваясь первыми двумя членами, приходим к выра-

жению

"2 Jjjj (-1 Sign (t)i-t)2) Sign (i;3-t;4) X

-a i,k=l

X exp\-k\v -~v.,\ - k t)3 - Vi\ - 1Щ (t)i - v\433 - dvdvdvv.

(3.2.9)

Для p = 0 выражение (3.2.9) значительно упрощается и после несложных преобразований приводится к виду

ехр--\г\ - v-,\~k\v - V2\-k- vA

Таблица 3.2

X sign (ti - гз) sign (% -Vi) dvddvdVi - сзоо (1 - e-/")),

(3.2.10)

1-де приближенное равенство выполняется при естественных условиях йаф>1, fea>l. Из (3.2.10) видим, что при аО, ОцО, а при а-оо Оц2оо- Однако, сравнивая (3.2.10) с (3.2.6), нетрудно убедиться, что cr/>crfi2 при всех а. Для иллюстрации приведем табл. 3.2 зависимости отношения OjJaQ от величины а.

Сравнение этих данных с приведенными для аналогичной зависимости величины оДоо от значений а позволяет сделать вывод о том, что при аф<а специализированный алгоритм обеспечивает заметно лучшую точность измерения угловой координаты, чем обычный традиционный алгоритм. Разница в качестве сравниваемых алгоритмов тем больше, чем больше размер апертуры по сравнению с радиусом пространственной корреляции фазовых флуктуации. Так, например, при аф/а = 0,1 обеспечивается выигрыш в точности примерно в 2 раза, а при аф/а = 0,03 - примерно в 6 раз. При Офа точности сравниваемых алгоритмов практически одинаковы, так что алгоритм, основанный на информации о центре тяжести сфокусированного пятна, является в этой области достаточно хорошим приближением к оптимальному. Следует, однако, отметить, что наличие амплитудных флуктуации поля дополнительно ухудшает точность измерения при неоптимальной обработке, в то время, как на синтезированный алгоритм подобные искажения практически не оказывают никакого влияния.

Полученные результаты относятся к случаю, когда флyктyaциJ онными эффектами, сопровождающими регистрацию используемой информации, можно пренебречь, т. е. когда принимаемый сигнал является достаточно мощным. Привлекая результаты гл. 3, нетрудно получить соответствующее более общее выражение для а, учитывающее и эти эффекты. Действительно, дисперсия координат центра тяжести при слабом сигнале увеличивается на величину, обратно пропорциональную суммарной энергии принимаемого сигнала и прямо пропорциональную средней квадратичной ширине пятна. Естественно, что все это остается справедливым и для р. если оценка проводится по центру тяжести.

Для того, чтобы получить равенство, обобщающее (3.2.5), следует обратиться к [51], где было показано, что восстановленная фа-

за обладает дисперсией al=Ar -{-~=Т]{=-l~)fb"7")

эффициентом корреляции по координате v, равным fe(6i, 62) =sincX X . Тогда вместо (3.2.5) имеем

2 2

a a

sine (--\g[Vi)g{v2)dvidv2.

Откуда с учетом (3.2.4) получаем

2 0,03

1+ -

0,86

I +

1+-+

а За

(3.2.11)

(3.2.12)

Из (3.2.12) следует, что дисперсия оценки угла прихода волны по ее фазовому фронту при слабом световом сигнале также увеличивается на величину, обратно пропорциональную суммарной энергии принимаемого сигнала и квантовой эффективности регистратора. Эта величина при Оф-О стремится к величине, пропорциональной Ое -, которая тем больше, чем больше ошибка измерения фазы и чем хуже угловая разрешающая способность. При аф<Са дополнительное слагаемое в Оц2 оказывается пропорциональным а/Оф. Вспоминая, что среднеквадратичное уширение пропорционально (а/аф)2, мы вновь приходим к выводу, что и в условиях слабого светового сигнала при а<а оптимальное извлечение информации об угловой координате из фазового фронта является существенно более эффективным, чем использование традиционного алгоритма.

Рассмотрим теперь случай, когда цель находится в зоне Френеля. Тогда с точностью до несущественной константы фаза принимаемого поля имеет вид ij5(u) =ф(у)-bs(y, Y- Р) где s(y, Y, 3) = = -kv + ky{l-p)v, \v\a, y=l/2R, Р -дальность до цели. Вводя функцию W(v, у, р), которая по аналогии с W(v, р) удовлетворяет уравнению

J R(v~Vi)W{vu у, )dvi = siv, Y, Я (3.2.13)

И привлекая (3.1.24) и (3.1.31), приходим к системе уравнений для определения оценок максимального правдонодобня у и Р

\iv)-s(v,y, )]dv=0;

(3.2,14)

dWiv,y, f) <5

ll{v)-S{V,У,ЩdV = 0.

Решение уравнения (3.2.13) для экспоненциальной функции корреляции имеет вид

s(-a, Y, )-a,-{v, у, p) 8(t)-fa)--

s{a, V, )+a,{v, y, p)

b{v - a) +

2<i?a„

(3.2.15)

Подставляя (3.2.15) в (3.2.14), убеждаемся, что (3.2.14) сводится к системе алгебраических уравнений пятой степени. Решение этой системы в аналитической форме удается получить в двух случаях -либо р2<1, либо уа< , которые практически перекрывают все наиболее важные реальные ситуации. В обоих случаях оценка р совпадает с оценкой (3.2.3). Оценка для у при условии р2<1 оказывается равной

1+2-

[v(-fl) + H«)] +

а„а2

2ka2 а

2а,„

4 CL 1

И не зависит от p. Дисперсия этой оценки легко вычисляется

2 г

(3.2.17)

Выражение для у в случае yal находится также без труда, но вследствие громоздкости получаемого выражения мы не будем приводить его, а отметим лишь, что в этом случае у оказывается нелинейной функцией р. Это, в частности, приводит к смещенности Y, однако с ростом размеров апертуры величина среднего смещения у относительно истинного значения стремится к нулю.

Физический смысл оценки установится особенно наглядным, если аф<а и р2<1. Тогда, как следует из (3.2.16),

у-Л- j v3f{v)dv, и следовательно, оптимальная обработка