Так как нас интересует большое отношение сигнал/шум, то появляется возможность воспользоваться при вычислении интеграла (3.1.18) методом перевала. Для зтого разложим показатель экспоненты (3.1.17) в ряд Тейлора в окрестности т-мерной точк»

{фь-, фт}, где Z = VpefV"* достигает максимума.

Тогда (3.1.18). преобразуется к виду

к 1 (р, Щ ~ ехр Н- 2 " "" X ехр

P,s=l

(3.1.19)

где ф, ф -векторы с компонентами ф={фь..., (fm), ф={ф1,-, фт}; ( + ) - знак транспонирования; В - матрица с элементами

f)ki - символ Кронекера.

Система уравнений для определения значения вектора ф, получаемая путем приравнивания нулю производной Z по компонентам Ф, после некоторых преобразований приводится к виду

lmV,ek-s =0 для всех к=\,...,т. (3.1.20)

Заметим, что точность сделанного приближения при переходе от (3.1.18) к (3.1.19) тем больше, чем более вероятно для ф значение ф. Заметим также, что система уравнений (3.1.20) в общем случае приводит к неоднозначному решению, так что каждое значение (fh определяется с точностью до 2яП;г. Зафиксируем некоторое конкретное значение ф, тогда усреднение, имеющее место в-выражении (3.1.19) легко проводится, после чего получаем

А [е C9,-t)\=\gBR + E Г Л ехр [ /+ (? В- f R-) f -

--- q+ В ср

где Е - единичная матрица; / = (9В+р-1)-1В?; Л = ехр

Воспользовавшись методом, изложенным в [4], находим \qBR-\-E\-=expi.-~ SpqbR{aqbR + E)-4a

так, что окончательное выражение для Лт(р[е(р, t}] имеет вид

К\Ар, )] = Аехр

- Y J Sp {aqBR -\-Е)-Ча-

-f/+(?B+/?-i)/-i-+B

(3.1.21)

Пренебрегая членами, содержащими q в отрицательных степенях, видим, что первое слагаемое в показателе экспоненты (3.1.21) не зависит от конкретной реализации принимаемого поля, а следующие два преобразуются к виду -- cp+;-icp, так, что для рассматриваемого случая ql, получаем

т P,s=l

(3.1.22)

где К - независящая от реализации поля константа.

Теперь вспомним, что зто равенство получено для какого-то вектора ф, удовлетворяющего (3.1.20). Так как всякий вектор равный ф-Ьфп (где ф„ -вектор с компонентами {2лПг}, i=l,...,m, щ- целое положительное число), также удовлетворяет этому уравнению, то для получения Лт[8(р, 0] необходимо просуммировать

по всевозможным векторам ф„. И в силу физической непрерывности каждой конкретной реализации фазового фронта вероятность таких фп, у которых все компоненты имеют не одно и то же значение п, при т-оо и А-0 стремится к нулю. Учитывая это замечание и переходя в (3.1.22) к пределу при т-оо и А-0, получаем

= /С ехр j- j J г) "р2) So ("pi) о (Fu) ехр Щ (7i) - г> (21 Pi3p2 j X

(3.1.23)

X У: exp

-у \ \ 1?(Р1)-]-2лй];-ЧРь Р2)[?(Р2) + 2Л«]й?Р1Р2

Заменяя суммирование по п интегрированием по некоторой непрерывной переменной X, приходим к следующему равенству:

А]е(р", t)] = Koexp JJг)(р1, РгЬоЙёоЫехрЫ] X

X dPidk - Y JJ f (pI) Ki (Pi, "Рг) ? (P2) flfp"iflfr2J, (3.1.24)

JJ % (Pl. P2)flfPlrfP2

JATy(pi, p)AT(p, P2)d7=bi7i~J.J,

(3.1.26)

->

a уравнение для ф(р) получается из (3.1.20) при том же предельном переходе (т->-оо, А->-0)

Im {ёо (Р)е?() j г) (", )i (7г) е-Л"?) rfi}=0. (3.1.27)

Перед тем, как приступить к анализу этих соотношений, сделаем одно замечание. Выражение (3.1.24) получено фактически при двух наиболее существенных предположениях: первое - ql и второе-

<р(р) должно быть «достаточно» вероятно для значений ф(р), подчиняющихся нормальному распределению с корреляционной функцией Лф(р1, рг). Последнее предположение означает, что основные статистические характеристики ф(р) должны находиться в некотором соответствии с характеристиками фазового распределения G(p) принимаемого поля. В частности, для шероховатой цели радиус корреляции фазовых флуктуации Ге не должен существенно отличаться от радиуса корреляции Гф значений ф. Это условие не умаляет важности полученных результатов, ибо случай, когда Гф<Сгв, приводит к голограммам интенсивности, а случай г:$>гв сопровождается несущественными искажениями, так что можно ограничиться операциями типа (3.1.13), (3.1.14).

Согласно полученному выражению для функционала правдоподобия (3.1.24) оптимальные операции над полем сводятся к формированию двух величин Zi и Z2, из которых состоит показатель экспоненты в Л[е(р, t)]:

Zi = J J (p"i, "рг) 0 (Pi) £0 (Рг) exp [i (Pi) - (ps)] р1Рг;

Z 2= J j" f (pi) Ru (pu ~P2) ? (P2) d9id?2-

При этом, если Zi по крайней мере по своей форме напоминает соответствующую величину, формируемую при отсутствии фазовых искажений, то Z2 является принципиально новым и по сути и по форме. Физически этот член соответствует обычной корреляционной

обработке некоторого волнового фронта. Столь специфический вид Ra~Hp\, рг) является в итоге следствием того, что функция ф(р) может быть измерена с точностью лишь до 2пп. Можно убедиться, что благодаря именно такой структуре Ро"" (3.1.25) функционал плотности вероятности Л[е(р, t)] становится нечувствительным к этой несущественной для практики константе.

Для того, чтобы более детально выяснить характер оптимальных операций, необходимо разрешить уравнение (3.1.27) относительно ф(р). Рассмотрим к чему приводит решение этого уравнения последовательно для различных случаев. Для точечной цели, имеющей координату

Го, г)(р1, Р2) =

1+90 «2

i(p)-

Ff (Р1 - Г(,)Н*(р2 - Го) из (3.1.27) получаем ---Wi-rQ-argoiP), (3.1.28)

где й -волновое число. Для цели с поверхностью, приближающейся к зеркальной,

?(p) = -arg{s(?j.so(pl). (3.1.29)

Для цели с шероховатой поверхностью, изображение которой является центрально симметричным

?(?)=--l?P-argBo(p).

(3.1.30)

В общем случае для шероховатой цели решение уравнения (3.1.27) найти не удается, так что приходится привлекать для его решения приближенные методы.

Подставляя найденные значения ф(р) в выражения для Z, и Z2, получаем, что с точностью до непринципиальных коэффициентов эти велич.чны:

для точечной цели

Zi =

Z2 =

PiP-y-oPi + arg£o(Pi)

0 (Pl, P.)X (3.1.31)

\92?--os + arg ёо ("Рг)1 didl,;

для зеркальной цели

Zi=(jN("p)e(p)Mpj (3.1.32)

Z2 = j f arg {£(Ti) £cf 1)) RopiCh) arg4E("p,)£o(p"2)l dpidp2;

для шероховатой цели

2 = jj[ р11+Ф(р1)+аге"во(р;)1о~Й,"Р2) X (3.1.33)

P-/+1(p2) + arg£o(T2)

flfplflfpi.

Из этих соотношений следует, что во всех случаях первый член включает в себя только амплитудную информацию в то время, как второй формируется только на основе фазовой информации принимаемого поля. В случае локации точечной цели величина Zi несет информацию исключительно о суммарной энергетике принимаемого сигнала и, входя в экспоненту (3.1.24) с множителем q, является основой для синтеза алгоритмов обнаружения. Величина Z2 несет информацию об угловом положении и о дальности лоцируемой цели, так что она оказывается необходимой при оптимальном синтезе соответствующих измерителей.

Величина Zi для протяженной цели также пропорциональна суммарной энергии принимаемого сигнала и поэтому так же составляет основу для задач обнаружения. Однако помимо этого Zi одновременно несет информацию и о форме цели. Оптимальное выделение этой информации зависит от свойств поверхности цели. Для зеркальной цели должны перемножаться модули полей -принимаемого и эталонного, а результат этого перемножения должен интегрироваться. При локации шероховатостей цели фактически должно строиться изображение. Однако это изображение формируется необычным образом--оно синтезируется из амплитудной информации принимаемого поля и некоторой средней фазовой информации эталонного поля. Построенное таким образом изображение сверяется с той же маской, которая использовалась и при отсутствии фазовых искажений. Величина Z2 для протяженной цели несет информацию как о ее координатах, так и о форме.

Таким образом, во всех случаях прослеживается общая закономерность-это необходимость при синтезе оптимальных операций препарировать принимаемое поле и осуществлять раздельную обработку амплитудной и фазовой информации. При этом, если часть информации (например, о координатах цели) может содержаться только в какой-то одной величине Zi или Z2, то информация о форме цели содержится и в Zi и в Z2. Причем обе эти величины с точки зрения выделения информации являются важными. Действительно, согласно [17] информация о форме цели, заключенная в фазовом распределении, более полная, чем та, которая содержится в амплитуде. С этих позиций значимость величины Z2 превалирует над величиной Zi. Однако Zi входит в показатель экспоненты (3.1.24) с множителем q и это означает, что при наличии шумов информация,

содержащаяся в величине Zi, подвергается меньшим искажениям. Конкретно как должна объединяться информация, содержащаяся в амплитудно1й и фазовом распределениях принимаемого поля, определяется общим видом функционала правдоподобия (3.1.24).

Все результаты, полученные для обработки монохроматических сигналов, легко обобщаются на немонохроматические. Как показывается в {23], наличие конечного спектра приводит к необходимости введения многоканальной обработки. Каждый канал настраивается на обработку некоторого спектрального интервала Acoj, в пределах которого осуществляются операции по формированию тех же величин Zi и Z2. Число каналов выбирается таким, чтобы в сумме они перекрывали весь спектральный интервал каждого сигнала. Ширина спектрального интервала Аш, выбирается из условия, чтобы с одной стороны в его пределах несущественно изменились вносимые аддитивные фазовые искажения, а с другой - можно было за данное время наблюдения зарегистрировать голограмму (51], необходимую для восстановления волнового фронта.

3.2. Измерение угловых координат и дальности по распределению фазы светового поля

Хорошо известно, что для измерения угловых координат точечной цели можно сформировать оптическое изображение и по координатам яркостного пятна определить ее угловое отклонение от оси визирования оптической системы. Привлекая функционал плотностей вероятностей (1.3.23), можно убедиться в оптимальном характере данного правила. Однако при появлении фазовых искажений оптические изображения (см. разд. 2.4) могут испытывать сильные искажения. В этой связи естественно поставить под сомнение и оптимальный характер измерения угловых координат по распределению интенсивности в таком «испорченном» оптическом изображении. Эти предположения, появляющиеся из физических предпосылок, полностью подтверждаются теми исследованиями, которые были проведены в предыдущем разделе. Действительно, при достаточно мощном сигнале и сильных фазовых флуктуациях согласно (3.1.31) вся информация о координатах цели оказывается сосредоточенной в члене Z2, зависящем только от фазового распределения пришедшего светового поля и не связанном с оптическим изображением. Данное обстоятельство говорит о том, что в таких условиях оптимальное правило по измерению угловых координат уже будет другим. Найдем это правило, основываясь на методе максимального правдоподобия.

Вначале рассмотрим случай, когда расстояние до цели известно. Тогда, максимизируя функционал правдоподобия (3.1.24) с учетом выражения (3.1.31), получаем, что оценка максимального

правдоподобия для го имеет вид

7о=В(7)Ф(?)й?Т. (3.2.1)