/О 1J о

Дшрфузная ппастинка

Рис. 3.2. Схема некогерентного оптического коррелятора

шедший от цели световой поток проходит через две линзы. В плоскости, где после первой линзы формируется оптическое изображение, располагается диффузная пластинка, от которой на некотором удалении R2 располагается транспарант с амплитудным коэффициентом пропускания VV{ - RiRi). Сразу за транспарантом находится линза. Интенсивность света, регистрируемая в фокусе этой линзы, и будет пропорциональна величине Y2. Прежде чем убедиться в справедливости этого утверждения, сделаем два замечания.

Вспоминая рассуждения, проведенные в разд. 2.3, видим, что

функция

с точностью до постоянного коэф-

фициента совпадает с распределением интенсивности оптического изображения, подвергнутого преобразованию, восстанавливающему сам образ из его оптического изображения. В принципе такое преобразование можно не проводить, если соответствующим образом пересчитать функцию Y{r). Сделав замену переменных 1

=---г, имеем

где Q - та же область Q, но на плоскости х, а

ео(р)ехр -г -1р2-г-1ср d?

(3.1.2)

(3.1.3)

Второе замечание сводится к обсуждению той роли, которую играет в схеме рис. 3.2 диффузная пластинка. Представим себе, что на плоскую идеально диффузную пластинку падает плоская монохроматическая световая волна. За пластинкой интенсивность волны не изменяется, но она уже не является плоской. Распределение фазы прошедшей волны описывается некоторой случайной функцией с очень небольшим (по сравнению с размерами пластинки) радиусом корреляции, так что ее можно считать практически 6 - коррелированной. Фактически это означает, что диффуз-

ная пластинка имеет некоторый комплексный коэффициент пропускания Тд(х), удовлетворяющий соотношению

(Тд(-/1)Тд*(Х2))=8С1-2)-

(3.1.4)

Рассмотрим теперь интенсивность в некоторой точке к плоскости, отстоящей от диффузной плоскости Qд на расстоянии R2. Если 2 достаточно большое, то

У(х)

Так как интегрирование проводится по всей области пластинки где присутствует много независимых случайных значений фазы, то результат такого интегрирования физически эквивалентен усреднению по всем тем флуктуациям, которые обусловливаются диф-фузностью пластинки. В природе обычно выполняется условие эргодичности, когда достаточно полное усреднение по пространству эквивалентно усреднению по различным реализациям. Сейчас это означает, что при достаточно большой области йд интенсивность

/(х) будет практически равна интенсивности <.(х)>, усреднен-

->-

ной по различным реализациям Тд(х).

После всех сделанных замечаний перейдем к выводу выражения для световой интенсивности в плоскости Согласно схеме рис. 3.2.

/(0 =

И2Ы--ПХ

X ехр - i

2/л1

(3.1.5) (3.1.6)

Усредняя no диффузной составляющей и учитывая (3.1.4), получаем

/(С)=.

X ехр г-

при этом

(3.1.7)

Пусть {k/2R2)- существенно больше площади области Q. Тогда можно воспользоваться асимптотической оценкой интеграла. Стоящего под знаком модуля [30J. В результате находим

(3.L8):

Так как £(х) 2 = /(х), а область QeQa, то, сравнивая (3.1.8) с (3.1.2), приходим к выводу, что с точностью до постоянного ко-

на рис.

эффициента I{0)Y2. Таким образом, представленная схема решает поставленную перед ней задачу.

Из соотношения (3.1.8) также следует, что рассмотренная схема обладает свойством инвариантности по отношению к относительному смещению наблюдаемого объекта и транспаранта. Наличие такого смещения приводит к тому, что требуемое значение будет формироваться не в точке = 0, а в некоторой другой, однозначно определяемой данным смещением.

В основу формирования величины Уз может быть положена та же схема рис. 3.2. бднако теперь фильтрация сигнала должна осуществляться не светофильтром, настроенным на частоту ио и имеющего некоторую достаточно узкую полосу, а светофильтром с частотным спектром принимаемого локационного сигнала.

Перейдем теперь к обсуждению тех операций, которые необходимо осуществить над принимаемым световым сигналом, когда имеются фазовые искажения. Тогда функционал для монохроматического пространственного некогерентного сигнала при условии

фиксированной функции ф(р) задается выражением (1.4.16). Аналогично для модели фазовых искажений (1.4.14) на основе соотношения (1.3.30) выписывается п условный функционал для пространственно-когерентного сигнала. Для обоих случаев функционал правдоподобия, определяемый как отношение функционалов плотностей вероятностей при наличии сигнала и при его отсутствии, может быть записан в единой форме: :}

Mhih )1=ехр{ ? jг("РьГ2)о(р1)"(р2)е 1(i/p/p2, (3-1.9)

где введены безразмерные величины

•о(Р)=/

H{.) = XRH{.), uAr) = ~MoTu{r)lQ, е(р) = = /(р); Q = TsPo; q = TsPo/2No;

qOTsPQ/2NoMo и где

Я(р1-г)Я*(Р2-г)й?г-Для «0*2 J 1 +qOuir)

-<- -* пространственно некогерентного сигнала;

-(Рь Р2)=-{ ,

I 40

е (pi) е* (рг) - ДЛЯ пространственно коге-

рентного сигнала (3.1.10).

В условиях полной априорной определенности должно быть известно статистическое описание фазовых искажений. Это означает, чтоимеется принципиальная возможность путем усреднения

Лф[ес(р, 0] по всевозможным реализациям ф(р) найти безусловный

функционал правдоподобия А[ес(рТ 0]= (Аф[ес(рГо])9- Вид этого функционала и укажет на те операции над сигналом, которые необходимо осуществить в рассматриваемых условиях.

j<aK отмечалось в разд. 1.4, при некоторых предположениях

ф(р) можно считать реализацией нормального случайного процесса с нулевым средним значением и с корредяционной функцией

К(р\, Р2)=аф2й(р1, рг). Провести необходимое усреднение и найти точное аналитическое выражение для безусловного функционала при данных предположениях не удается. Вместе с тем существуют приближенные решения поставленной задачи, представляющие значительный интерес для лазерной локации. Первые результаты,

полученные путем приближенного вычисления Лф[е(р t)], были приведены в работе [28]. Использованный при этом приближенный метод усреднения основывается на предположении малости отношения сигнал/шум, что дает возможность воспользоваться разложением экспоненты (3.1.9) в ряд Тейлора в окрестности нулевого значения ее показателя и ограничится первыми тремя членами этого ряда. Рассмотрим более подробно, какие оптимальные операции следуют из полученного таким образом функционала правдоподобия.

Если через Z обозначить показатель экспоненты (3.1.9), то искомые операции сводятся к формированию двух величин Z и Z. Проведя соответствующие усреднения, находим

<)¥=у7 j j(Pi. рг)ёо(р1)£о(рг)е

.-ф[1-*(Р,-р.)1

(/Мр2; (3.1.11)

{Pi, Р2)*(Рз, р4)ёо(р1)о*(р2)ёо*(Гз)ё(р4) X

хехр(-а2[2-/;(;;, р)-к{7,, Рз)+*(р1, р1) + А;("2. Тз)-А(т2. h)--k{h, 74)\} d9id7-/ihdP4. (3.1.12)

При однородных флуктуациях, т. е. когда k{pi, р"г) =>(рТ-рТ), выражение для Z может быть записано в виде: для пространственно некогерентного сигнала

().=?1~{г)ия(7-Т)ёо(;);

(3.1.13)

)(r) = e e ? dp;

для пространственно когерентного сигнала

(Z), = ,„i Гйр)о(р)е~rf d7. (3.1.14)

Эти выражения показывают, что первый член в разложении

Лф[е(р, t)] после его усреднения по реализациям ф(р) приводит к операциям, которые являются естественным обобщением получен-ны.х ранее оптимальных операций. Действительно, реализация со-отнощения (3.1.13) соответствует регистрации сфокусированного действительного изображения, которое затем просвечивается череа

маску V{r). Единственным и существенным отлячием является то,

что в данном случае вид маски V{r) определяется не только формой изображения, а зависит и от статистических характеристик

фазовых флуктуации. Формально V(r) является сверткой идеальной маски, т. е. той, которая соответствует отсутствию фазовых искажений, с функцией w(r). Физический смысл такой свертки становится соверщенно очевидным, если обратить внимание на то,

что, как следует из приведенных соотнощений, функция иУ(г) сама выступает в роли маски, через которую должно просвечиваться изображение точечной цели. Что касается обработки поля для: пространственно когерентного сигнала, то она по-прежнему основывается на когерентной фильтрации, однако после ее осуществления интенсивность должна быть зарегистрирована не в фокусе собирающей линзы, а в некоторой его окрестности. Размеры этой окрестности оказываются тем больщими, чем значительнее фазовые флуктуации. Затем зарегистрированная интенсивность должна быть просвечена через маску с коэффициентом прозрачности, про-

порцнональным w(r).

Формирование величины <Z2>ф включает в себя новые и существенно более сложные операции над полем. Эти операции значительно упрощаются, когда аф2>1 и радиус корреляций фазовых флуктуации оказывается существенно меньше характерных размеров областей, на которых изменяется комплексная амплитуда ео(р)- Тогда, как это следует из (3.1.13) и (3.1.14), вся информация о форме цели, содержащаяся в <2>ф, практически нивелируется и поэтому член <22>ф становится особенно важным. Нетрудно нидеть, что при отмеченных условиях интеграл (3.1.12) оказывается отличным от нуля лишь для значений pi, рг, рз, Р4, сосредоточенных около гиперплоскостей {pi = p2, рз=Р4} и {р1 = Рз, Р2 = р4}- Учитывая ЭТО значение, а также вновь предполагая однородность фазовых флуктуации, получаем:

для пространственно некогерентного поля

<Z2), = ((Z),)2+Y(0)Jr(T)Jk.(P)pe"rf;

где УгЙ-У Сгг)УСг1+Ъа7г;

для пространственно когерентного поля

dr, (3.1.15)

(Z2),=((Z),)H-

е -f

2.. . .-*

[H-ft(P)l

(3.1.16)

16(1 ч

Х[1йТ)21о(Г)2"р

Реализация выражения (3.1.15) полностью соответствует методу голограмм интенсивностей [28]. Обработка пространственно когерентного поля также сводится к регистрации голограммы интенсивности, но в отличие от пространственно некогерентного сигнала сверка с эталонным образцом должна осуществляться не по восстановленному образцу, а непосредственно по самой голограмме. Напоминаем, что проведенные рассуждения основывались на разложении экспоненты (3.1.9) в ряд Тейлора, что является возможным при малом отнощении сигнал/шум. На практике часто реализуется обратная ситуация.

Для того, чтобы осуществить усреднение Лф[е(р, t)] в случае малого отношения сигнал/шум дискретизируем задачу. Разобьем область Q на т непересекающихся областей, площадь каждой из

которой равна Д. Тогда Аф[е(р, t)] аппроксимирзется функцией

Атф[£(р, t)], которая при т-чоо и Д-»-оо стремится к (3.1.9):

(3.1,17)

где Vps = v{pp, p5)eo(pp)eo*(ps)A, а v{pp, р), ео(рр), фр-значения соответствующих функций, когда рр, р принадлежат области с номером р, S. Усредним Атч1е{р, t)], а затем в полученном выражении перейдем к искомому пределу

л[в(р, )1=(лл{р; mv=7~l

т t

Хехр \V,p-s)-W,,9,b\\d9u.-.,d9,n, (3.1.18)

где матрица W определяется из соотношения

2 Vr. = V. Rps==R{7p,..;b-