в общем виде

«о, если в 1-м элементе нет сигнала;

(Дс + о. если в i-M элементе есть сигнал (зеркальная точка).

Логарифм функции правдоподобия запишется в следующем виде:

Z = max/(7Ve)

- Nn-\-n In По - TV До -•

In !

(2.6.3)

Сумма Nf.) берется по /-м элементам, обеспечивающим максимизацию Z. Как видно из (2.6.3), при фиксированном N. суммирование ведется по тем элементам, где зарегистрированы максимальные значения щ. Из (2.6.3) также легко находятся выражения для оценок максимального правдоподобия параметров:

Тогда

Z=/(7VJln

Л -Nc

-n -

(2.6.4)

Таким образом, если Лс известно, то алгоритм сводится к отбору Лс наибольших значений щ, вычислению l{Nc), нахождению йс. т, определению Z и сравнению с порогом с. В случае когда jVc неизвестно, следует величину Z промаксимизировать по N.. Аналитически это выполнить трудно, но на практике достаточно легко, так как возможное число переборов оказывается весьма ограниченным, особенно при небольшом N.

Для оценки эффективности алгоритма можно воспользоваться методом статистического моделирования. Метод сводится к многократному «наигрыванию» {ni) в соответствии с (2.6.1), (2.6.2) и обработке их по алгоритму. Средние частоты принятия правильных и ошибочных решений принимаются в качестве статистических характеристик алгоритма. Результаты подобного моделирования представлены на рис. 2.14 в виде зависимости вероятности правильного определения «зеркальности» P{Hi\Hi) от вероятности ошибочного решения о «зеркальности» P{Hif\Ho). Расчет прове-

Рис. 2.14. Эффективность алгоритма при анализе изображения с числом элементов разрешения n=5{1), 7{2), 10(5) и числом зеркальных точек Лс = 3:

сплошная линия - алгоритм со свободной альтерва»

тиной; штриховая - с известной альтернативой

ден при пс=4, по=1. Видно, что эффективность существенно зависит от разрешения.

При недостаточном пространственном разрешении {N-1) возможна обработка N таких декоррелйрованных изображений предмета. В этом случае с порогом должна сравниваться величина

0,2 0,РтНо]

Z = max

2 In д - Nn - 2 In д,-!

i=l i=l

где Ui - общее число фотоотсчетов в t-м изображении. Учитывая,

что д=- получим

Z-=№ln --д N

In д,-!.

(2.6.5)

При достаточно больших Пг, когда Inn! «п» In щ-п.

Z;Zi =

Если щ настолько больше, что малы их относительные флуктуации, то

Z«Zo=

Tl- Д;

Для Z2 в отличие от Z и Zj сравнительно просто находятся аналитические выражения статистических характеристик. В частности, для зеркального объекта распределение Z2 можно аппроксимировать нормальным законом, и первые два момента равны

2=(Л-1)Д, a = 2(iV-l)№2 + fci)i«.

Это позволяет аналитически выбрать величину порога С. Резуль-

Р(н,\н,) 0,9? -

Рис. 2.15. Эффективность алгоритма при испольэованин нескольких изображений с плохим разрешением для и = 5()), 10(i), 15(3), 20(4):

сплошная лнння - алгоритм со свободной альтернативой; штриховая - с известной альтернативой

таты оценки эффективности а.чго-ритма (2.6.5) приведены на рис. 2.14. Моделирование проведено при Пс/по = 4, Af=10.

Рассмотрим теперь алгоритмы с известной альтернативой. При анализе изображений с N элементами

Z = max In - max In F.

n + \

(2.6.6)

Здесь первое слагаемое равно (2.6.4), а

N р П;

ln/=o = iV[-(«o)-ln(l+(«c))l + ln y]jT°

Максимизируется это выражение подстановкой оценок максимального правдоподобия <гес> и по. Значения эффективности данного алгоритма при заданных Пс и щ представлены на рис. 2.14. В случае анализа N декоррелированных изображений с одним элементом разрешения выражение для Z по виду совпадает с (2.6.6), но в качестве первого слагаемого берутся (2.6.5) или его аппроксимации. Данные по эффективности этого алгоритма приведены на рис. 2.15.

Наряду с оптимальными алгоритмами представляют интерес и неоптимальные (в том смысле, что они не основаны на расчете функций правдоподобия), но учитывающие статистические свойства, изображения. Рассмотрим пример такого эвристического алгоритма. Все зарегистрированные числа щ в изображении сравниваются с порогом С, затем число превышений порога L - с другим порогом Сь Так как при изображении шероховатого предмета дисперсия щ больше, чем для пуассоновского распределения, то вполне вероятно значительное число больших выбросов щ. Поэтому в случае, когда L<C\, принимается решение о наличии изображения «зеркального» типа объекта, а когда L< < С - противоположное решение. Оценим на частном примере эффективность такого алгоритма. Будем считать, что Пс, По, N известны, и примем С\ = = Nc. Функцию распределения L можно определить следующим образом:

Таблица 2.2

P[LN,)=P{L);

L

PiL)=CNCkJNP{п:С\п)P~i(п>С\До) X

i = 0

X я<=- (« < с U) р-с-(-) I По),

«=«с + о. или п= (п-с)-уПо.

Используя для определения Р{п-С\п) и Р(п<Сгё) распределения вида (2.6.1) и (2.6.2), рассчитаем P{LNo) иР(1>Лс) = 1-P(I-c) для обоих случаев и таким образом получим эффективности алгоритма. Результаты расчета при по= 1, <гес> = гес = 4, N= 10, Nc = 3 приведены в табл. 2.2.

Таким образом, распознавание изображений с зеркальной и шероховатой поверхностями, основанное на статистическом анализе поля зарегистрированного изображения может быть успешно осуществлено даже при малом угловом разрешении и небольшой энергии принимаемого сигнала.

Глава 3 Оптимальные методы обработки световых сигналов и алгоритмы распознавания в лазерной локации

Сформулированное в гл. 1 статистическое описание лазерного локационного сигнала позволяет не только проанализировать его информационные возможности, но и синтезировать оптимальные методы его обработки. Наличие функционалов плотностей вероятностей, приведенных в разд. 1.3... 1.5, позволяет для решения единой задачи привлечь известные результаты теории статистических решений. Некоторые из этих результатов уже использовались при рассмотрении отдельных частных вопросов. В настоящей главе продолжим соответствующие исследования с целью синтеза оптимальных методов обработки световых полей и выявления путей использования результатов этой обработки в алгоритмах распознавания наблюдаемых объектов.

3.1. Оптимальные методы обработки световых сигналов при достаточно полной априорной информации

В теории статистических решений в зависимости от объема имеющихся априорных сведений разработаны различные пути синтеза оптимальных алгоритмов. Вначале обратимся к случаю, когда ус-

ловия, при которых осуществляется лазерная локация, характеризуются достаточно полной априорной информацией. Это означает, что вид функционала плотностей вероятностей, каким описывается принимаемый световой сигнал, известен с точностью до той информации, какую требуется извлечь из принимаемого светового сигнала.

Так, например, если требуется получить те или иные представления о форме лоцируемой цели, то это означает, что должны быть известны статистические свойства полезного сигнала, его временной спектр, статистические характеристики фона и т. д. При этом, если сигнал является пространственно когерентным, то вся имеющаяся априорная информация о форме цели согласно (1.3.29) оказывается заключена в комплексной амплитуде в (о), а если пространственно некогерентный, то согласно (1.3.23) и (1.3.22)-в

функции и(г). Поэтому для того, чтобы оценить насколько наблюдаемая цель похожа на «ожидаемую» («эталонную»), необходимо в соответствии с (1.3.29) для пространственно когерентного сигнала сформировать величину Ki== ) ео(р)г (P)flfp ,а для пространст-

венно некогерентного - в соответствии с (1.3.23) -величину

12

dr. Если же сигнал является прост-

= fV(r) ео(р)Я(г-р)й?р

ранственно некогерентным и не монохроматическим, то согласно (1.3.16) должна быть сформирована величина

Vo (г, ) j ео Ср, ) я„ (г-"р) dl Vrdm.

Рассмотрим вопросы, связанные с формированием этих величин более подробно.

Как уже отмечалось в разд. 2.3, комплексную амплитуду ео(р) можно рассматривать как комплексную амплитуду сигнала, прошедшего через светофильтр, который настроен на частоту ©о и имеет предельно узкую полосу пропускания. С учетом этого замечания первая величина может быть сформирована с помощью схемы, изображенной на рис. 3.1. Основной особенностью этой схемы является наличие транспаранта, коэффициент пропускания которо-

го является комплексным и равным е*(р). При этом условии в окрестности фокуса линзы значение световой интенсивности /о в мо-

е(9)

Е(г)

Транспарант

Рис. 3.1. Схема когерентного оптического коррелятора 104

мент времени Г с точностью до постоянного коэффициента равно величине У.

Действительно,

\чС.)ч{9.) li}M~\)dp,

Jeo(p)e(?)flfp

(3.1.1)

Схема, представленная на рис. 3.1 -не что иное как хорошо известный когерентный оптический коррелятор [13], работающий по принципу/сравнения объектов в области их пространственных частот. Помимо такой схемы можно воспользоваться другой, которая осуществляет формирование величины У при использовании

транспаранта с коэффициентом пропускания, равным Е{г), связанным с 8(р) соотношением (1.1.4). Это так называемый коррелятор [13], основанный на методе синтеза в области изображений.

Схема рис. 3.1 носит в значительной мере принципиальный характер. Связано это с тем, что создание транспаранта с коэффициентом пропускания е*(р) является часто сложной технической задачей. Поэтому обычно вместо подобного транспаранта используется голограмма, коэффициент пропускания которой пропорционален величине l + e(p)l2-}-e*(p)e"i-J-s(p)e-<4 (т]-одна из координат вектора р). Приходящий от цели световой поток после голограммы разделяется на три световых пучка. Тот пучок, который идет в направлении, соответствующем -уо. пропускается через линзу. В фокусе этой линзы и формируется величина УЗаметим, что если угол, под которым наблюдается цель, и угол, под которым наблюдался эталонный объект при записи голограммы, не совпадают, то величина Yi формируется не в фокусе, а в соответственно сдвинутой точке фокальной плоскости. С величиной, аналогичной Уг, мы уже встречались в разд. 2.3 при обсуждении критерия различия двух оптических изображений. Там эта величина появилась в результате привлечения корреляционного критерия и отличается

она от Уг только конкретным видом функции У {г.) Согласно (1.3.23) зарегистрированное оптическое изображение следует сравнивать не с «идеальным», описываемым функцией и{г), а несколько подправленным, с учетом того, что изображение формируется при наличии светового фона. То, как именно должен учитываться

световой фон, и указывает вид функции 1/(г) (см. 1.3.22). При отношении сигнал/шум qoa V{r)-u{r).

Один из возможных вариантов оптической схемы уст;)ойстБа, способного сформировать величину Уг, приведен на рис. 3.2. При-