0,ША

Рис. 2.8. Фотографии изображений, испытавших при формировании различные фазовые искажения

ные значения L = 2X2; 4X4; 8X8; 16x16; 32X32. Интервал флуктуации фазы фг (/=1,..., L) задавался в интервале а=0... 2я.

На рис. 2.8 вынесены наиболее типичные искаженные изображения. Для количественного описания искажающих эффектов рассчитывались резкостная и корреляционные функции и на их основе строились сглаженные по точкам зависимости нормированных величин S{a) и </С>ф = /С(а), как функции дисперсии фазовых флуктуации а, измеряемой в долях длины волны. Представленные изображения и графические зависимости (см. рис. 2.9, 2.10) дают возможность установить некоторые общие закономерности.

При значениях а-Х/8 = 0,125л функция корреляции достигает величины/(0,8 от ее максимального значения (Kmax (сг = 0) = 1) и с ростом а(а>1/8) начинает резко уменьшаться так, что при

П(6) 0,8 0,6 0,4 -0,1 -О

да/ 1=тгч

к/16 Ар: ЗА/Ш й.

Рис. 2.9. Графики зависимости корреляционной функции от дисперсии флуктуации фазовых искажений

Рис. 2.10. Графики зависимрсти функции разности S от дисперсии флуктуации фазовых искажений

<т>Х/4 = 0,25Х наблюдается полная декорреляция изображений практически во всем диапазоне изменения L и МоЮ. В случае объектов простой формы, как показывают многочисленные эксперименты, декорреляция наступает при несколько больших значениях а.

Обработка полученных данных позволила построить в логарифмическом масштабе график зависимости дисперсии фазовых искажений а от L, когда параметром выступает заданный коэффициент корреляции между идеальным и искаженным изображениями. На рис. 2.1! приведены три кривые, отвечающие значениям /(=0,7; 0,8; 0,9. Задаваясь для каждого конкретного объекта сеткой таких кривых с заданным шагом по К, легко определить тот коэффициент корреляции, какой имеет место при любых значениях а и L. Подобная эмпирическая сетка может быть полезна при использовании адаптивных методов компенсации фазовых искажений. В этом случае она позволяет сформулировать (при заданном L) необходимые требования на качество компенсации (а), которое должно обеспечить заданный уровень корреляции К, а следовательно, и заданный уровень субъективного распознавания.

Без труда устанавливается, что точки а=Х/8 и а=Л/4 при ql являются наиболее характерными и для зависимости 5(a). В диапазоне 0<а<Х/8 имеет место практически линейный закон изменения 5(a). Для а>Я/8 этот закон становится сугубо нелинейным. При а?Х/4 происходит практически полная декорреляция изображений.

Если теперь сопоставить сами оптические изображения с характером изменения построенных зависимостей на рис. 2.9, 2.10, то можно установить еще одну немаловажную особенность значения подтвержденную многочисленными экспериментами. Она заключается в том, что при наличии обученного оператора вероят-

ё>(К\ Рис. 2.11. Графики зависимости диспер-

0,2\ I [ I I сии фазовых искажений от числа фазо-

вых ячеек на апертуре при зафиксиро-ваииой величине К

оЛ--"Ч., -"I -J«/f=o;a ность субъективного распознава-

* ния сложного объекта при а=А,/8

и 9>1 близка к 1 во всем диапазоне изменения L и при МоЮ. Не вдаваясь в подробности меха-низма человеческого восприятия, можно предположить, что эта эмпирическая закономерность может служить упрощенным количественным критерием субъективного распознавания сложного объекта. J

2.5. Оптические изображения при слабом световом сигнале

Зафиксированная на светочувствительном экране информация представляет собой совокупность отдельных центров, в которых имело место взаимодействие света с веществом экрана. Если таких центров много, то они воспринимаются в виде сплошной совокупности, образуя, например, на засвеченной фотопленке некоторую плавно изменяющуюся интенсивность почернения. По этой интенсивности можно однозначно судить о световой интенсивности формируемого оптического изображения.

Если же сигнал обладает малой мощностью, то вся дискретность зарегистрированной информации проявляется в полной мере. В результате при небольшом числе провзаимодействовавших центров оказывается невозможно составить сколь-нибудь определенное представление о получаемом оптическом изображении. В таких условиях на первый план выдвигается вопрос о том, какой должен быть уровень сигнала, чтобы с заданной достоверностью по числу и распределению центров взаимодействия извлечь необходимую информацию о самом оптическом изображении. Следующий вопрос, который взаимосвязан с предыдущим, ставится так: как в данном случае извлечь требуемую информацию наиболее оптимальным образом, т. е. при минимальном уровне сигнала обеспечить максимальную-достоверность. Оба эти вопроса и являются предметом исследования настоящего и следующих разделов.

Статистическое описание зарегистрированной информации в зависимости от конкретно реализующихся условий задается одним из распределений (1.5.1) ... (1.5.5). С учетом того, что сейчас речь идет об оптическом изображении, под распределением интенсивно-

сти /(р), входящим в эти выражения, следует понимать соответствующим образом отнормированную световую интенсивность в оптическом изображении. Таким образом, 1{р)=Къ{р), где /«(р) 90

определяется равенством (2.1.8); /Сэ - коэффициент, учитывающий квантовую эффективность светочувствительного экрана.

Вначале рассмотрим ситуацию, аналогичную той, которая исследовалась в разд. 2.3, и предположим, что зарегистрированная информация описывается распределением (1.5.1). Тогда задача формируется следующим образом: известно, что может наблюдаться один из двух объектов; оптическое изображение первого объек-

та описывается распределением интенсивности /hi(p), а второго - va{p). Требуется по зарегистрированной совокупности координат провзаимодействовавших центров {рь-, рп} определить, какое получено оптическое изображение /«1 (р) или /и2(р), или, что то же самое, требуется решить - какой из двух объектов наблюдается.

Если наблюдается /-й объект (/=1, 2), то согласно (1.5.1.) выборка значений {рь р„} удовлетворяет закону распределения:

Pi (Pl,..., ri] = -Wlj (Т) ехр - 1" Ij (Т) d?\ , /Д"р)=/СзЛ/(р); /лТ)=/с/(р) + /ш; f /jCp)dJ-=nj.

(2.5.1)

В соответствии с общими рекомендациями теории статистических решений [14, 50] оптимальное правило, по которому должен формулироваться искомый ответ, сводится к составлению отноше-

ния правдоподобия Pi(pb..., рп, п)/Pzipi,..., р„, п) и сравнению его логарифма с некоторым порогом. Для (2.5.1) это правило принимает вид

1п>с, hi9i)

(2.5.2)

где величины щ и йг, как имеющие постоянные значения, включены в порог с.

Так как величина Z равна сумме п независимых случайных величин, то при достаточно большом числе п распределение величины Z можно с хорошей точностью аппроксимировать нормальным. Тогда вероятности Р(11) и Р(22), полностью характеризующие процесс принятия решения, определяются прежними формулами (2.3.22). Для того, чтобы раскрыть эти выражения, необходимо найти средние значения и дисперсии величины Z (2.5.2) для двух случаев, когда наблюдается первый и второй объекты.

По определению

2p ,-=l

/l(Pl) hCi)

«=0 Ls J 2„

.) /2(р)

(2.5.3)

n n

n«0

/;(P)P

/Др) In

/l(P)

у njn \UX) dl\ \ f /, ip) in i# „! и J и /2(р)

L /2(P)

= j/.(T)

/l(p)

afp.

(2.5.4)

Равенства (2.5.3) и (2.5.4) совместно с (2.3.22) дают полное количественное описание достоверности различения двух оптических изображений. На основе этих выражений можно в зависимости от конкретного вида изображений и величины отношения сигнал/шум определить минимальное число провзаимодействовавших центров, при котором будут достигаться заданные вероятности принятия безошибочного решения. В свою очередь, это число с учетом квантовой эффективности конкретного светочувствительного экрана оПределяет требуемый минимальный уровень мощности принимаемого светового сигнала.

В качестве иллюстрации рассмотрим пример, подобный тому, для которого в разд. 2.3 были получены выражения (2.3.23) и (2.3.24). Пусть изображения обоих объектов являются резко контрастными. Для данного случая это означает, что /ci(p)=/o, когда peQoi, и /ci(p)=0, когда peQor, аналогично 1с2 = 1°, когда peQo2,

и /с2 = 0, когда peQo2. Пусть области Qqi и Q02 имеют одинаковую площадь 5о, а площадь пересечения этих областей Q12 равна 5i2. 92

Тогда, обозначая через 9* = /о ш, из (2.5.3) и (2.5.4) получаем Z,= -Z2-/o(5o-5i2)lnfl + *); а? = ai = (5о - 5i2) (/о + 2/) 1п2 (1 -f *).

(2.5.5)

При сформулированных условиях вероятности Р(11) и Р(22) равны между собой. Подставляя (2.5.5) в (2.3.22), находим

Я(11)=Я(22) = ф( -"c/g

V2 + q*

(2.5.6)

где пс=1оо-

Задаваясь определенной величиной вероятности Р(11) = = Р(22)=Ро, можно из (2.5.6) для любых изображений и данного уровня отношения сигнал/шум q* рассчитать требуемое в среднем число провзаимодействовавших центров. Согласно (2.5.6)

Сравнивая (2.5.6) с (2.3.24), видим, что в обоих случаях вероятность правильного различения изображений оказывается тем

больше, чем больше величина]/ 1-ёж. Это подчеркивает то

обстоятельство, что в обоих случаях степень похожести различаемых изображений характеризуется одной и той же величиной. Далее так же, как и в (2.3.24), вероятность (2.5.6) с ростом q* хотя и увеличивается, однако при фиксированном значении Пс даже при q*oo она не стремится к единице. Физическая природа этого явления иная, нежели та, которая лежала в основе объяснения аналогичной зависимости вероятности (2.3.24). В данном случае описываемая закономерность есть следствие того, что даже при полном отсутствии шумовых центров, необходимо некоторое количество сигнальных центров, чтобы зафиксировать и различить получаемые изображения.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда весь светочувствительный экран разбит на N отдельных ячеек Ai(t=l,..., Л), так что объектом регистрации является совокупность чисел {щ}. Естественно, что подобное описание приводит к огрублению зарегистрированной информации. В связи с этим возникает вопрос, как установить такой максимальный размер Д элементов Д,, при котором возникающее огрубление для заданного уровня флуктуации будет еще допустимым.

Для ответа на этот вопрос вновь обратимся к величине А (см. разд. 2.2), которую в данном случае необходимо усреднить не только по флуктуациям лазерного изображения, но и по всем возможным регистрируемым реализациям. Такое последовательное усреднение величины А, что фактически означает усреднение по закону (1.5.5), приводит к выражению