в силу случайности функции ф(р), описывающей возможные фазовые искажения, функция Лф 4-- pj в отличие от аналогичной функции Лл7+-р-р(2.1.9) оказывается случайной. Ориентируясь на свойства фазовых искажений, описанные в разд. 1.4, имеем, что

а благодаря (1.4.5) получаем

X Га! - (2 +7- Тг ) Та2 } еХр {---(Tai"Таг)} ufp"alufpa2- (2-4.4)

В данном случае статистические характеристики распределения интенсивности .и(р) определяются не только флуктуациями комплексной амплитуды Е{г), но и флуктуациями фазовых искажений. Усредняя по обоим видам этих флуктуации, находим, что второй момент комплексной амплитуды, входящий в (2.4.1) вместо (2.1.10), определяется выражением

Так как «/и(р)»ф = <оДе(р, р)>ф, то, подставляя (2.4.4) в (2.4.5) и полагая pi = p2=p, получаем

((Л(Р)»,-Л Ш1ЙФ(?+Р)Л (2.4.6)

2 2

--Z)y(Pal -Ра2)й?Ра1Й?Ра2.

(2.4.7)

Заметим, что если функция 1)ф(ра1-Раг) в пределах области Q равна постоянной величине, то функция

ф p + /г, T-f J и равенства (2.4.6) и (2.4.11) совпа-

дают. Предположим, что в пределах линзы укладывается несколько корреляционных ячеек Лф фазовых флуктуации. Тогда, сделав

замену переменных pai-ра2 = ра и pai-ра2=2рао и учитывая, что 82

при данных условиях функция D{pa) достаточно узкая, можно выражение (2.4.7) с хорошей степенью приближения представить в виде

dp,.

Обозначим через площадь той области, в пределах которой сосредоточены основные значения функции ехр--D(p,).

г-(--р

будут сосредоточены в области с площадью {XR)/S. Эта величина никак не зависит от величины угловой разрешающей способности, обеспечиваемой идеальной оптикой и, следовательно, каких бы больших значений величина Mq не достигала, приближение типа (2.1.17) для данного случая оказывается несправедливым.

Физическое объяснение этого факта состоит в том, что при наличии фазовых искажений средняя угловая разрешающая способ-

ность определяется не видом функции

а функцией

г-\--р .В результате число элементов разрешения задается

не величиной Mq, а M = SqSJ(IR). Следует подчеркнуть, что средняя разрешающая способность соответствует случаю, когда время наблюдения Т настолько большое, что в течение наблюдения успевают проявиться самые различные фазовые реализации. В противном случае средняя разрешающая способность ул<е не определяется всеми искажениями волнового фронта.

Например, если время наблюдения Т меньше времени «заморо-женности» атмосферы, то на величину угловой разрешающей способности уже не будут оказывать влияние случайные наклоны всего волнового фронта в целом. Действительно, наклон фазового фронта приводит лишь к смещению изображения в фокальной плоскости, которое хотя от наблюдения к наблюдению и изменяется случайным образом, но при каждой конкретной реализации остается неизменным и поэтому не сказывается на пространственной структуре формируемого изображения. Следовательно, в подобной ситуации оценка разрешающей способности должна осуществляться таким образом, чтобы «дрожание» изображения не учитывалось.

Исследования статистических характеристик, описывающих смещение оптического изображения и реализующуюся в условиях короткой экспозиции угловую разрешающую способность, подробно изложены в [2, 7]. Полученные в этих работах результаты подтверждают физически очевидный вывод о том, что флуктуации центра тяжести изображения определяются в основном крупномасштабными неоднородностями, в то время, как величина разреша-

ющей способности - главным образом мелкомасштабными. При уменьшении фазовых флуктуации, т. е. величины Лф(0) (см. (1.4.12,)), и дисперсия смещения центра тяжести изображения Оц и средний угол 6, определяющий угловую разрешающую способность, уменьшаются, так, что при Дф(0)0, Оц-О и Q-llVS, что соответствует обычному дифракционному пределу.

При фиксированном значении /Сф(0) величины Оц и 6 зависят от того, сколько областей, в которых значения светового поля флуктуируют независимо, укладывается на апертуре. С ростом Отношения 5/5ф и Оц и 6 увеличиваются. Однако характер их изменения оказывается различным. Так, Оц сравнительно быстро (уже при 5/5ф - порядка нескольких единиц) достигает своего максимального значения, в то время, как 6 вначале увеличивается медленно и лишь после того, в то время, как 6 вначале увеличивается медленно и лишь после того, как отношение 5/5ф становится больше единицы, начинает быстро возрастать.

Таким образом, в зависимости от того, сколько корреляционных зон фазовых флуктуации укладывается на приемной апертуре, фазовые искажения приводят либо к значительному ухудшению разрешающей способности, либо к смещению всего изображения целиком. В первом приближении можно считать, что если iV-iSl, то преобладает эффект смещения, при S/S 1 главный эффект состоит в ухудшении разрешающей способности.

Обратимся теперь к выяснению вопроса о том, как фазовые искажения сказываются на статистичес1ой структуре лазерных изображений. Для этого необходимо вычислить корреляционную

функцию распределений интенсивностей /и(р)- Предположим, что Мо>1 и 5/5ф>1. Тогда при интегрировании произведения

г-\--7>) в {2АЛ) используется большое число случай-

пых независимых между собой значений. По1Этому, учитывая центральную предельную теорему теории вероятностей, результат интегрирования можно считать распределенным по нормальному закону. Следовательно, можно вновь воспользоваться соотношением типа (1.2.5), так что искомая корреляционная функция будет равна:

I S \

(2.4.9)

Подставляя (2.4.4) в (2.4.9), получаем

S \2

2„ 2 2

+ -PllPal -

V Z

Г-{--Р2 Ра2

Z j

--/?(Pal-Pa2)WpalufPa2G?-

. (2.4.10)

Сделав замену переменных, аналогичную (2.4.8), находим

X«fp"ao f «Й j" exp{-D,(pJ

D -> -» Ч-

-i - (Pl -P2)PaO

+Y7-(pi+T2)

exp pAdpJr

12R2 J

Pl -HP2

/.(Pi-P2)P, (2.4.11)

где та же функция, что и в (2.1.17), а функция Ф(-) определяется равенством (2.4.7).

Из выражения (2.4.11) следует ряд важных выводов. Во-первых, дисперсия значений интенсивности, получаемая из (2.4.11)

1фи pi = p2, оказывается равной квадрату среднего значения (2.4.6).

Далее согласно (2.4.11) корреляционная функция </Cj(pi, р2)>ф представляет собой произведение двух сомножителей ЛгР и

Pl - Р2

При этом вторая функция существенно бо-

лее широкая, нежели первая, все значения которой сосредоточены в области (Xz)2/s. Следовательно, все лазерное изображение представляет собой по-прежнему совокупность ярких пятен. Причем средний размер этих пятен не изменился. Изменилось лишь их общее число, причем последнее увеличилось пропорционально увеличению средней площади засвечиваемой искаженным изображением.

Помимо исследований общего характера для лазерной локации оказываются весьма важны исследования, относящиеся к искажениям конкретных изображений. При этом, если в работе участвует оператор, то появляется необходимость заранее получить самые разнообразные возможные реализации изображений, которые формируются для заданных параметров фазовых искажений. Это позволит, с одной стороны, приучить оператора к восприятию подобных изображений, а с другой - установить предельные параметры фазовых искажений, при которых качество изображений не выходит за рамки допустимых норм.

Для решения таких задач оказывается полезным статистическое моделирование на ЭВМ. Схема типичной программы показана на рис. 2.6. Здесь первая подпрограмма обеспечивает задание комплексной амплитуды поля объекта Е{г) в соответствии с его конфигурацией и статистическими свойствами отражающей поверхно-

Задание исходного объекта Е(г) Мо

Прямое преобразование Рурье e(q)

Внесение /разовых искажении введение фоновой составляющей

сти. Вторая подпрограмма осуществляет расчет комплексной

амплитуды поля е(р) с применением быстрого дискретного преобразования Фурье. Ее основная функция заключается в формировании модуля

Обратное преобразование Чурье I

Ир)="К[КезЙР + [1п1вЙР> и относительной фазы

Определение поля в плосшсти изображения е(г)

Расчет щнпции корреляции К

Печать

?o6(p)=arctg

Ime(p) Re г (7)

Расчет (рункциа резкости S

Печать

Расчет интенсивности поля изображения

Устройство визуализации

Рис. 2.6. Схема программы статистического моделирования на ЭВМ изображений, испытавших фазовые искажения

В этой части программы учитывается расстояние до объекта и его габаритные размеры, так, чтобы соблюсти основные пропорции между этими параметрами, соответствующие реальной ситуации.

В рамках третьей подпрограммы осуществляется наиг-рыщ случайных фазовых искажений ф(р). Здесь же может осуществляться наигрыщ слу-!чайного аддитивного светового фона. Для получения конкретной реализации фазовых искажений удобно всю область предполагаемой апертуры раз-

бить на L ячеек Аг и функцию ф (р) представить в виде

?(Р) = 2 РЛг(р-Рг).

(2.4.12)

где ф/ -случайный набег фазы в пределах ячейки А/;

Хг(Р-Рг)=

1, реДг

где рг - координата центра ячейки А;.

Если ячейки Aj совпадают с корреляционными фазовыми ячейками, то компоненты вектора ф={фь Фь} можно считать независимыми. Если Аг меньше корреляционной ячейки, то при наигры-

Рис. 2.7. Фотография неискаженного объекта

ще значений различных компонент необходимо учитывать соответствующие корреляционные связи.

Предназначение четвертой подпрограммы сводится к вычислению интенсивности оптического изображения. Соответствующие вычисления проводятся с привлечением быстрого дискретного преобразования Фурье. При этом в качестве исходного массива выступает набор комплексных чисел, характеризующих комплексную амплитуду:

£(р)ехр

?об(Р)+2 "РЛИР-Рг) •

В приведенную схему рис. 2.6 включены две вспомогательные подпрограммы, позволяющие дать количественную оценку качества получаемого изображения. Первая - обеспечивает вычисление корреляционной функции полей

+ 0О

(/C)J (е(р?(р)=0)£*(р(р(р))й(р)„

- оо

вторая - вычисление функции резкости по критерию s [6]

- 00

Необходимые усреднения проводятся после получения и обработки результатов моделирования для различных случайных реализаций ф(р) и Е{д). Обе величины .(ро) и S позволяют оценить степень похожести искаженного и неискаженного изображений и установить ее зависимость от числа корреляционных фазовых ячеек L, интенсивности флуктуации фазы а=Дф(0), уровня углового разрешения и формы наблюдаемой цели.

В качестве иллюстрации на рис. 2.7... 2.11 приведены результаты, полученные в процессе работы описанной программы. Исследования проводились для объекта, изображенного на рис. 2.7. Предполагалось, что эта цель перекрывает примерно 180 элементов разрешения, т. е. Мс 180. Ответный сигнал от цели формировался для случая, когда направления лазерного подсвета и приема сигнала совпадают.

Число фазовых ячеек в которых наигрывались искаже-

ния, варьировалось в диапазоне L = 4 ... 1024 и принимало конкрет-