2.3. Определение величины угловой

разрешающей способности, необходимой

для уверенного различия лазерных изображений

Наличие спекл-структуры лазерных изображений отрицательно сказывается не только на субъективном восприятии, но и на качестве передаваемой информации. Подобные флуктуации могут быть уменьшены, если есть некоторый «запас» в разрешаюшей способности. Возникает естественный вопрос, какой же должен быть этот запас или точнее, каково должно быть угловое разрешение для того, чтобы лазерное изображение было достаточно информативным?

Очевидно, что ответ на этот вопрос не может быть одним и тем же для любой возможной ситуации и в значительной мере определяется тем, какая именно информация представляет интерес. Рассмотрим следующую конкретную ситуацию. Пусть известно, что может наблюдаться один из двух шероховатых объектов, и известны функции, описывающие их средние оптические изображения,

т. е. функции «i(r) и «2(г), входящие в выражение (2.1.3), для сигнала приходящего от каждого из этих объектов. Требуется определить минимальное число элементов разрешения, при котором по лазерному изображению можно различить эти объекты с данной вероятностью.

Для большей общности будем предполагать, что в принимаемом световом сигнале присутствует фоновая составляющая, так что его описание имеет вид (1.3.18). Тогда очевидно, что перед тем, как сформировать оптическое изображение, необходимо поставить светофильтр, настроенный на частоту шо- Предположим, что этот фильтр обладает достаточно узкой полосой пропускания, так что его импульсную реакцию можно при >0 аппроксимировать функцией е-"". Тогда после фильтра сигнал может быть записан в виде

(2.3.1)

Если светофильтр стоит перед линзой, то в соответствии с (2.1.5) и (2.1.6) комплексная амплитуда в плоскости изображения может быть записана в виде

("р)= J ео (Я, Т) (Га - Г) е йГа-

с учетом (2.1.4) имеем I I

сЛ{Р)=-

2 (Хг)2

во(Рз)ехр-/ A.ppj2 A-;j

(2.3.2) (2.3.3)

гдеео(ра) определяется равенством (1.3.24).

Выражение (2.3.3) может быть .переписано в виде

во(Рз)Я(рз+р)й?Р

(2.3.4)

Согласно (2.1.16) среднее оптическое изображение <;.и(р)> пропорциональной-- pj. Поэтому, если при сравнении полу-

ченного оптического изображения /и(р) с </и(р)> ориентироваться на корреляционный критерий, то чем больше оказывается величина

20= j „ ( Аj ео (-;j и (Гз+";) d;

= \ti[p) \4{9)hc9-P)dp

(2.3.5)

(2.3.6)

тем больше /и(р) похоже на </и(р)>-

Вычислив для полученного изо1бражения величину Z° в предпо-

ложении, что «(p)=Ui(p), а затем эту же величину в предположении, что «(p)=«2(p), можно, сравнив их между собой, сказать, на какой из двух объектов более похоже полученное изображение. Разность описанных величин определяется выражением

"о(Г) f ео(рз)Я(Рз-р)з

где «o(p) = "i(p)-"2(р), а fii2 - область, объединяющая области ill и Qo, соответствующие данным целям.

Таким образом, если Z>0, то согласно сказанному ранее принимается решение о том, что наблюдается изображение 1-ой цели (т. е. той, которой соответствует функция Uj (г)), в противном случае изображение относится ко второй цели. В данном случае весь процесс принятия решения полностью характеризуется двумя величинами: вероятностью Р(11) -принять решение в пользу 1-й цели, когда в действительности эта цель наблюдается, и аналогичной вероятностью Р(22) - для второй цели. Для того, чтобы рассчитать эти вероятности, необходимо найти распределение величины Z. Тогда

P(II)=jPi(Z)rfZ, P(22)=f P{Z)dZ, (2.3.7)

б -оо

где Р] (Z) - плотность вероятности величины Z при условии, что наблюдается 1-я цель, а Яг (2) -соответствует случаю наблюдения 2-й цели.

в общем случае получить аналитическое выражение для распределения величины Z не удается. Однако при достаточно хорошем угловом разрешении удается найти ее характеристическук> функцию W(y]). В [14J показано, что для нормально распределенной комплексной амплитуды ео(ра), имеющей нулевое среднее значение, характеристическая функция величины (2.3.6) определяется равенством

Ф (т1)=ехр I f d7 f О (р, 7; Хо)Ло} , (2.3.8)

0(7,"р2; >о) ->-о f 0(рь р; н){7, "pJ«7=(7b р);

V[7г, 7.) = f {7и 7)Ro(7,7;)d7\

(pi, "рг) = \ 1ь ("?) НС?1-7)Н* (2- 7)d7;

(2.3.9) (2.3.10) (2.3.11)

0 (pi, Гг) = ( £о ("Pi) 4Ы) (2.3.12)

Пусть наблюдается какая-то /-я цель, которой соответствует функция Uj{7). Тогда с учетом (2.1.3) и (1.3.24) имеем

/?o(7i,72) = f UjCr)M*,-7}H(72-r)d7i-TNQb{7,-72).

В результате находим

(?i,"p2)=j Wj[7)H{,-7)H*(2-7)d7, (2.3.14)

Wj(P) = N,Tu,ip} l-\.LUj(7)

(2.3.15)

Таким образом, чтобы найти W{r[), следует решить уравнение (2.3.9), в котором функция v определяется равенством (2.3.14). В соответствии с рекомендациями по решению подобных уравнений [14] ищем его решение в виде, похожем на v{7u р), т. е.

О ("Pi, р1; /.о)= { gj (?) Я ("Pi - р) Я* (Тг - 7) d7. (2.3.16)

Подставляя (2.3.16) и (2.3.14) в (2.3.9), приходим к уравнению

gj7p)M{7-7)H*i7,-7)d7-io J [;(?з)и/Р4)Я(рТ-р;)х

2,2 2,1 2

X Я * ("р - Та) Я (Т- ) Я (Тг -Т4) ТзТ4 Р =

Wj iP) я (Ti-"p) я* (Т2-"р)Т- (2.3.17)

Учитывая, что

\ Я* (T-Ti) я (Т-Тг) Т=- h (Т -Тг) ехр {-/ (iTiP- 1Р2Р .

и считая функцию /г(р-f) достаточно острой, убеждаемся, что равенство (2.3.17) справедливо, если в качестве функции g{p) принять функцию, равную

gj (Т) == Wj (Т)/( 1 - hWj (7)). (2.3.18)

Подставляя (2.3.18) в (2.3.16), а (2.3.16) в (2.3.8), окончательно получаем

Wj {У])=ехр (-- Г In 11 - ir]W (Т)] dp] (2.3.19)

<• 2„

Привлекая известные правила теории вероятностей, согласно которым

Z< = -i

т, = 0

2 azvw

и /Сj=--TIT"

находим

Z,= f «о(")11+>яЛТ)1"г; (2.3.20)

(2.3.21)

где с учетом того, что <Q> = TSPoj, введены следующие обозначения:

2 (Х/?)2 J

\ Uj[r)dr.

+ 00

Так как Pj{z)-\ Wj{n)eгЧr\, го

следовательно, найденное выражение для Т(п) позволяет выписать интегральное соотношение и для плотности вероятности вели-

чины Z. Если воспользоваться представлением P/(Z) в виде ряда [42], то можно убедиться, что при высоком угловом разрешении, т. е. когда М = 851{%.Ку:\ (Sj -площадь области Qoj, соответствующая /-Й цели, /=1,2), PjiZ), хорошо аппроксимируется гаус-совскихМ законом. В зтом случае с учетом (2.3.7) имеем

/Э(1/1)=1~ф

Z, N

01 /

Р(2/2) = Ф

(2.3.22)

В качестве примера рассмотрим случай резко контрастных изображений, т. е. таких, у которых и{г) отлична от нуля только в пределах области Qoj, где она равна некоторой постоянной величине Пусть Si = S2=So и «iO = «2°, тогда ?i°-=?2° = ?°. и выражения (2.3.20) и (2.3.21) принимают вид

Zi- Z2--~~{Sq-Si2)\

(2.3.23)

где Si2 - площадь области перекрытия областей Qi и Q2.

При сформулированных условиях вероятности Р(1/1) и Р(2/2>

(2.3.22) равны между собой и их величина определяется выражением

Р(1/1)==Р(2/2)=Ф

V 1 -ь(1

/-If

(2.3.24)

Формула (2.3.24) дает количественное описание зависимости вероятности безошибочного различения двух лазерных изображений в зависимости от числа элементов разрешения М. Задаваясь требуемой величиной вероятности Р(111) =Р(22) =Ро, можно для каждого возможного уровня отношения сигнал/шум 9° и любых конкретных изображений определить требуемое минимальное число элементов разрешения. Обозначая через ф-i функцию, обратную Ф, согласно (2.3.24) имеем

ф-4/0)

(2.3.25)

Из (2.3.25) следует, что величина Мо должна быть тем больше, чем больше отношение x = SnlSQ. Такая зависимость совершеннс> понятна. Действительно, выбранные объекты различаются между собой только благодаря различию в форме областей Qi и Q2. Степень же этого различия определяется областью перекрытия Q12, что количественно выражается через величину х. Чем больше дг„

тем больше похожи друг на друга данные изображения. Отсюда и следует физическое обоснование сделанного заключения.

Из (2.3.24) также видно, что при заданной величине Mq с ростом q° вероятность безошибочного распознавания увеличивается. Однако, и на это следует обратить особое внимание, даже при бесконечно большой величине q° вероятности Р(11) и Р(22) (2.3.22) не стремятся к единице. Это есть непосредственное выражение того факта, что помимо флуктуации фона на вероятность распознавания самым существенным образом сказываются флуктуации самих лазерных изображений. Конкретные зависимости вероятностей (2.3.24) для разных величин х п q° приведены на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Кривые зависимостей вероятностей правильного распознавания от величины отношения сигнал шум 9° для значений параметров:

Afo=100; 2 -Jc=5/6, Af„=100; 3 - л:=3/4, Afo=64; 4-д;"5/6, Af„=64;

2.4. Влияние фазовых искажений на качество оптического изображения

При формировании оптических изображений могут появиться искажения в фазовых соотношениях приходящей световой волны. Подобные искажения могут явиться следствием как прохождения световым лучом турбулентной среды, так и неидеальностью самой формирующей оптической системы. При весьма общих предположениях (см. разд. 1.4) оба вида искажений могут быть описаны соотношением (1.4.14). В таких условиях равенство (2.1.8) оказывается неверным. Выполнив все те же преобразования, которые сопровождали вывод (2.1.8), но имея в виду (1.4.14), получаем, что распределение интенсивности в плоскости оптического изображения описывается выражением

j£(;)exp(/A[;2j4p+:2 -;jrf-

(2.4.1)