ски независимых изображений контраст пятен оказывается равным

(2.2.3)

т. е. уменьшается в УЛ раз.

Теперь представим другую ситуацию: имеется всего одно изображение, однако это изображение сформировано с некоторым «запасом» по угловому разрешению. Последнее означает, что площадь Лэ элемента разрешения на объекте меньше площади Дм его минимальных макродеталей. Данное условие позволяет осуществить дополнительное сглаживание изображения по пространству и при этом не «замазать» его макроструктуру.

Математически распределение интенсивности /сг(х), получаемое после пространственного сглаживания, может быть записано в виде

(2.2.4)

где /и(р) - интенсивность исходного изображения, а F{p-x) - некоторая функция, значения которой сосредоточены в области Qp. Заметим, что макроструктура изображения не пострадает, если площадь Ар области Qp будет меньше величины {гЩАш- Для определенности будем считать, что функция F удовлетворяет равенствам

+ 0С

1 FiP~x)dl=U 1 Fi7-x)dy.=const (2.2.5)

- 00 - ао

Кроме того, будем предполагать выполненными неравенства

даг«д/«(2/?Р5о, (2.2.6)

которые позволяют считать, что функция F является существенно

более быстрой, по сравнению с функциями и и </и(р)>, но более медленной, по сравнению с /г.

Учитывая эти замечания и равенства (2.1.16), (2.1.17), находи.м

+ 0О

2X2 22

- 00 -00

- (Л ih)) (Л (Рг) )]F(pi-x)P (Р2 -Ъ dPid1=

+ 00 +00

= 1 I H(Tl.?2)/(Tl-Z)("p2-3C)4luf"p2 =

--оо + оо

V 2 Х222;

\ 2 Х2г2 ]

Ltt2

4 (Х2)2

[--Щ F[,--l)dг (2.2.8)

Таким образом, средний контраст пятен в сглаженном изображении

°сг(Х)/(Лг(х)>=>>

F4P~l)dp

(2.2.9)

Рассмотрим случай, когда функция F постоянна внутри области

+ 0О

Qp, а вне ее равна нулю. Тогда F{p - x)d?=\F• Пусть вели-

чина Ар такая, что область Qp захватывает в среднем /по пятен. Это означает, что Ау/Дйг=апо. Так как SjAhz=Mo, а Mq= {XR}ISSji, то после простых арифметических преобразований величина (2.2.8) оказывается равной

-сг(Х)/(Лг(х))-1/К. (2.2.10)

Следовательно, если в пространственном сглаживании участвует niQ пятен, то их контраст в результирующем изображении уменьшается в ifitQ раз. Этот ответ можно было предугадать из уже полученного соотношения (2.2.3), ибо так же, как при усреднении N изображений суммировалось yV независимых значений интенсивности, так и в данном случае равенство (2.2.4) означает, что каждое сглаженное значение интенсивности является результатом интегрирования то независимых значений.

Теперь перейдем к ответу на первый вопрос - как же происходит исчезновение пятен при переходе к полихроматическому излучению? Основываясь на уже проведенных исследованиях, можно дать хотя предположительный, но вполне логичный ответ - по-видимому, изображения, получаемые на разных длинах волн, оказываются между собой статистически независимыми. Обоснуем это предположение, для чего достаточно найти корреляционную функцию значений интенсивности при двух различных длинах волн светового излучения Яь Яг в одной произвольной точке р. Эта функция равна

/Ш2(Р)=(Х1(Р)ЛХ!Й) -</„xl(p")) (ЛХ2(Р)) = = ( ИХ! (Р) SXI Й (р) 1X2 Ср) ) - (./„XI (Р) ) ( (/„Х2 (р)) =

= ~ ( 2„Х1 (р) Чи (р) ) (е„,2 Ср) 1>2{Р))+~\{ ShXI (S иХ2 (С)) Р +

+ -f ((ил1(Р)в„Х2(рЪР-(Лх1("р)) (X2)3)=-f I(b„xi(7)b:X2(T))P,

(2.2.11)

где индекс Я„(и=1,2) обозначает, к какой длине волны относится данная величина.

/о о.Л провести требуемые усреднения в равенстве

(Л2.11), обратимся к модели поля (1.2.18), основанной на представлении о блестящих T04j{ax. Для большей наглядности и простоты положим к{п) = 1, а еСп)=Е1. Тогда (1.2.18) принимает вид

b„x„(P) = 2£,e--*«4x„(,rt.

(2.2.12)

Проводя усреднение аналогично тому, как это выполнялось в равенствах (1.2.19) ... (1.2.21), для (2.2.12) получаем

4 UlX2?W

t,m = l

\l\hRz

(2.2.13)

Заметим, что при h=X2=X, Кп{р)=оЦр), поэтому при данном условии выражение (2.2.13) совпадаете (2.1.15).

Из равенства (2.2.13) видно, что величина корреляционной связи между значениями интенсивностей /иял(р1 и /„Я2(?), получаемых в изображении в одной и той же точке р на длинах волн Я, и К. определяется экспоненциальным множителем exp[-4o.(ki-k2)4 Ьсли потребовать,чтобы он был меньше 0,01, то это приводит к не-P,ffy,Jiki~k2)>4,8, которое для = {м+А2)/2 Принимает вид

М/Х>0,2Щ. (2.2.14)

Откуда следует, что, например, при а=4Я изменение длины волны Я, на величину порядка 0,05 К приводит к изображению, статистически независимому от прежнего.

Физический смысл неравенства (2.2.14) весьма прост. Действительно, возьмем какие-то две блестящие точки, попадающие в один элемент разрешения. Пусть расстояния от этих точек до плоскости наблюдения различаются между собой на величину го. Это означает, что разность фаз волновых фронтов от этих точек при длине волны Xi равна kizo, а при Х2 - kzzo. Для того, чтобы изображение изменилось, необходимо, чтобы изменилась интерференционная картина. Последнее требование приводит к условию \kiZo-k2Zo\n или, с учетом предположения АХ<Х имеем AX/XO,5X/zo.

Так как в процессе формирования изображения участвует большое число случайных блестящих точек, то величина Zq для любых таких точек является случайной и ее возможные значения определяются дисперсией Oi. Поэтому понятно, что для совокупности случайных точек изменение интерференционной картины определяется аналогичным условием, но с заменой Zq на 0%. Таким образом, условие АХ/х0,5Xfai, устанавливающее соотношение между АХ, X и Oi, может быть получено из чисто качественных соображений. Проведенные математические исследования потребовались лишь для того, чтобы искомое соотношение приобрело четкую количественную оценку.

Необходимо подчеркнуть, что условие (2.2.14) относится к случаю, когда наблюдается плоский объект. Если же подсвечивается объемное тело, то условие, которому должна удовлетворять величина АХ изменяется. Соответствующее неравенство может быть получено совершенно аналогично тому, как было выведено (2.2.14). Эту задачу мы оставляем для самостоятельного исследования, а ограничимся лишь выводом соотношения, носящего качественный характер.

Пусть объектом наблюдения является сфера с радиусом го, а диаметр линзы равен d. Тогда (рис. 2.4) разность фаз волн от наиболее удаленных блестящих точек, попадающих в один элемент

разрешения, для длины волны Xi равна ZQRtgf.

Следовательно, абсолютная величина дополнительного набега фаз, появляющегося между этими точками при переходе к длине

;2я- --tgcp. л d

волны Х2 равна -al-o-

Требуя, чтобы этот набег фаз был больше я и учитывая, что для

точки р, находящейся внутри изображения, tg ф«р/roz, приходим к неравенству

AXA>0,5/-o2:fif ?2J (2.2.15)

Прежде всего следует подчеркнуть, что при выводе условия (2.2.15) мы фактически учитывали разброс блестящих точек по поверхности сферы и не учитывали их разброс, обусловленный

Рис. 2.4. Иллюстрация расчета разности фаз наиболее удаленных блестящих точек, попадающих в один элемент разрешения

флуктуацией уровня шероховатостей. В то же время неравенство (2.2.14) обязано именно второму фактору. На практике оба фактора сказываются совместно. Но до тех пор, пока условие (2.2.15) является менее жестким, чем (2.2.14), можно считать, что фактор объемности превалирует. В противном случае первенствующее значение приобретают флуктуации уровня шероховатостей. Случай, когда оба фактора оказываются существенными, требует особого, более строгого математического анализа.

Одной из особенностей неравенства (2.2.15) является его зави-симость от координаты точки р внутри изображения. Чем ближе точка р находится к границе изображения, тем при меньшем изменении длины волны наступает статистическая независимость значений интенсивности в данной точке. Этот эффект есть математическое отражение того обстоятельства, что при увеличении угла ф (см. рис. 2.4) более резко проявляется «объемность» сферы внутри угла, разрешаемого данной линзой. При малых ф(рг«0) может реализоваться такая ситуация, что влияние кривизны поверхности сферы внутри элемента разрешения будет сказываться меньше, чем флуктуации уровня шероховатостей, и тогда условие на величину ДА, будет устанавливаться не соотношением (2.2.15), а (2.2.14).

Итак, полностью подтверждается сделанное ранее предположение о том, что при достаточно большом различии длин волн формируемые оптические изображения при подсвете одного и того же тела оказываются статистически независимыми. Этот факт служит объяснением отсутствия пятен в изображении, получаемом в естественном свете. Анализируя полученные результаты, можно оценить, как сглаживаются флуктуации в изображении при подсвете объекта полихроматическим излучением, спектр которого имеет ширину Д>„о. При этом, если для плоского объекта коэффициент сглаживания оказывается постоянным по всей области изображения, то для объемного тела он непостоянен - наиболее эффективно флуктуации сглаживаются в тех частях изображения, которые соответствуют большим значениям кривизны поверхности наблюдаемого объекта.

Вернемся к изображениям, получаемым при монохроматическом освещении. Для сглаживания флуктуации в каждом таком изображении требуется «затратить» некоторое число элементов разрешения. Естественно, возникает вопрос, как установить разумный предел подобных затрат? Чтобы ответить на этот вопрос, требуется привлечь какой-нибудь количественный критерий, устанавливающий степень похожести сглаженного изображения и соответствующего «идеального» изображения. В качестве такого критерия примем значение величины Л, равной отнормированному среднему квадратичному уклонению регистрируемого изображения от идеального, описываемого согласно (2.1.16) функцией и(р).

Введем функцию /о(х). соответствующую распределению интенсивности в плоскости %, которое с точностью до соответствующей используемой оптической схемы коэффициентов подобия и энергетических коэффициентов совпадает с и(р). Тогда величина А для сглаженного изображения определяется равенством

°сг (1) + J [Jo (Ъ - < сг (X) > F dl 2 2 16)

->

где асг(х) и <Лг(х)> определяются соответственно выражениями (2.2,7) и (2.2.8).

Из равенства (2.2.16) следует, что величина отклонения сглаженного изображения от истинного определяется двумя слагаемыми, причем (и это весьма существенное), цервое -определяется флуктуационной природой, а второе-только ограничениями по разрешающей способности. Это обстоятельство позволяет оценить требуемые параметры лазерной оптической системы и используемого сглаживающего фильтра. Для этого следует по изображению, получаемому в естественном свете, определить разрешающую способность, необходимую для наблюдения цели с заданной степенью подробности. Подобной информации достаточно, чтобы оценить величину второго слагаемого в (2.2.16). Очевидно, что сглаживание будет достаточно хорошим, если первое слагаемое не будет превалировать над вторым, т. е.

j (XJ «f< J [Л (Х) - (Лг ("х))Vdl (2.2.17)

Это неравенство совместно с выражениями (2.2.7) и (2.2.8) определяет ту часть элементов разрешения, которую целесообразно затратить на сглаживание. Проведенные по этой методике расчеты приводят к выводу - для того, чтобы сглаживание было эффективным необходимо, чтобы в усреднении значения инстенсивиости в каждой точке х участвовало не менее 3 ... 7 независимых элементов.