Так как E{r) является нормальной функцией, то, следовательно, и

-> -».

комплексная амплитуда еи(р), будучи связанной с В (г) через интегральный оператор, также будет нормальной. Поэтому можем воспользоваться соотношением типа (1.2.5), устанавливающим зависимость между корреляционными функциями комплексных амплитуд и интенсивностей, так что

KAPv Р2)=(Л(Р:)Л(Р2))-(Л("Р1)) (Л(Р"2)) =

=я?1ЛяГрь"р2)Р-

Подставляя (2.1.10) в (2.1.12), получаем

(2.1.12)

и(Рь Р2) =

r}h.

г I \ z j

(2.1.13)

Откуда, в частности, при pi = p2=p приходим к следующему выражению для дисперсии значений интенсивности /и(р):

а«(Р)=(/и(7))-(Л(р)) = /Р,

(2.1.14)

Сравнивая (2.1.14) и (2.1.11), видим, что

(2.1.15)

т. е. среднее квадратичное отклонение интенсивности оказывается равным ее среднему значению.

Заметим, что площадь области, в пределах которой сосредоточены основные значения функции h, по порядку величины равна {KRyiS. В то же время площадь {lR)JS есть ничто иное, как площадь одного элемента разрешения, обеспечиваемого данной линзой. Следовательно, если реализуется такое угловое разрешение, при котором выделяются все основные детали, то функция оказывается существенно более узкой по сравнению с и (г). Очевидно, что для этого Mq=SqS/(XR) должно быть значительно больше единицы. При таком условии можно в (2.1.11) и (2.1.13) провести приближенное интегрирование, после чего получаем

drPoX

(2.1.16) (2.1.17)

<ЛРи P2)~/<H(Pl-fe) =

}222

I2z2

-ЦШЛРгХ2)\

где определяется (2.1.9) при R = z. При переходе к приближенным равенствам в (2.1.16) и (2.1.17) было учтено, что

+ 0О

dr:

(2.1.18)

и аналогично

/гл(Р1 -Рг)-

(2.1.19)

z 1 S

Равенство (2.1.16) отражает тот факт, что среднее распределение интенсивности по плоскости изображения пропорционально распределению световой интенсивности по объекту с естественным для формирования оптического изображения масштабным коэффициентом -R/z. Из равенства (2.1.17) можно сделать два важных и специфичных для лазерного изображения вывода . Во-первых, корреляционная функция интенсивности внутри оптического изображения зависит только от расстояния между точками pi и ра-Во-вторых, размер корреляционной ячейки, т. е. той области, где

Ки(р1, рг) отлична от нуля, оказывается порядка Iz/VS. Последний вывод следует непосредственно из того факта, что аналогично тому, как функция h сосредоточена в области с размером KRlVSt функция сосредоточена в области с размером Так как

площадь оптического изображения равна So{zjR), то, следовательно, число корреляционных ячеек, укладывающихся в области оптического изображения, примерно равно So{z/R)/{iz/ys) = =5о5/(х/?)2, т. е. числу Mq -угловых элементов разрешения. Формально величину Мо можно определить из соотношения

f \ Кц(Р1,Р2)Р1Р2

J <-м(Р)>Р

J иС)Х\

- оо /

X \ \ И(Г1)И(Г2)

1 - 2

drdr..

(2.1.20)

В качестве примера рассмотрим случай, когда изображение и апертура имеют форму квадрата, тогда из

Жо =

L О

(1-г!) sin

""-t\dt

\ XR

(2.1.21)

где Оо, а - соответственно сторона изображения и апертуры, определяя эффективную площадь сфокусированного изображения ве-

личиной 5эф= j Л(р)й?р/<У„(0)), находим, что площадь одной

- оо

корреляционной ячейки

(2.1.22)

sin ci-i\di

Откуда видно, что при ааоД7?>1 величина Дк равна -

следовательно, Mq=

(Х/?)2

Полная зависимость (2.1.22) Mq от

aajXR приведена на рис. 2.2. (сплошная кривая). Расчеты показывают, что для объектов любой, но достаточно компактной формы, аналогичные зависимости несущественно отличаются от зависимости, изображенной на этом рисунке.

Обсудим физический смысл полученных результатов. Соотношение (2.1.11) показывает, по какому закону изменяется интенсивность в среднем оптическом изображении. По определению среднее изображение -это результат сложения всех возможных оптических изображений (конечно с соответствующим вероятностным «весом»), которые только могут быть получены от шероховатых объектов, обладающих одинаковой формой, одинаковыми геометрическими размерами, одинаково расположенными, но имеющих разную структуру микронеровностей. О том, как каждое конкретное изображение может отличаться от среднего и о возможных особенностях в его структуре, указывают результаты анализа соотношений (2.1.15) и (2.1.17).

В частности, о том, как меняется интенсивность от точки к точке в каждом конкретном изображении, можно судить по корреляционной

функции /Си (рь рг) - в разных корреляционных ячейках значения интенсивностей оказываются Практически независимыми и поэтому могут отличаться друг от друга на величину порядка

Рис. 2.2. Зависимость среднего числа пятен Мо в лазерном изображении от числа элементов разрешения, приходящихся на это изображение: сплошная линия рассчитана по формуле (2.2.22), штрих-пунктирная аппроксимирует экспериментальные значения, отмеченные точками

SO WO 150

Рис. 2.3. Гистограмма оптической плотности почернения фотопленки в пределах лазерного изображения

0и(р), а так как аи=</и(р)>, то эти колебания оказываются чрезвычайно су- щественными. Следовательно, если изображение содержит Мо корреляционных ячеек, то его распределение интенсивности оказывается состоящим примерно из стольких же независимых друг от друга значений. А так как эти значения сильно флуктуируют, то это обстоятельство и приводит к тому, что изображение оказывается состоящим из совокупности отдельных пятен, случайно расположенных в области, соответствующей среднему изображению, и с резко отличающимися друг от друга значениями интенсивностей. Важно подчеркнуть, что из проведенных ранее исследований следует, что среднее число таких пятен примерно равно числу элементов разрешения, обеспечиваемых формирующей оптической системой.

Конечно в каждом конкретно формируемом оптическом изображении число ярких пятен Л1о будет отличаться от расчетной величины. В качестве иллюстрации на рисунке 2.2 приведена типичная зависимость величины Мо от числа элементов разрешения, приходящихся на цель (штрих-пунктирная кривая). Эта зависимость соответствует случаю, когда наблюдалась плоская фигура, имевшая форму квадрата. Подсчет числа пятен проводился по негативам, полученным на пленке ТИП-15. Эта пленка обеспечивает линейный режим в достаточно широком диапазоне, так что даже слабые и незаметные на фотографиях пятна оказываются хорошо различимыми 1[5].

Вернемся вновь к функции /и(р) (2.1.8). Будучи квадратом модуля функции, распределенной по нормальному закону, величина /п(р) в каждой точке должна описываться отрицательно экспоненциальной функцией плотности вероятности, т. е.

ехр(-У/(У)) У>0;

" (2.1.23)

я(У)=

о У<0.

Реальная модель приходящего сигнала может отличаться от той, которая была сформулирована ранее, что неизбежно приведет к отличиям в оптических изображениях. Хорошим критерием степени соответствия этих моделей с точки зрения формируемого оптического изображения является то, насколько вид реального закона P{i) отличается от функции (2.1.23).

На рис. 2.3 приведена экспериментально построенная гистограмма оптической плотности почернения D в зафиксированном на пленке изображении шероховатого квадрата. Оптическая плотность определялась по центру каждого из пятен, составляющих изобра-3* 67

Таблица 2.1 жение. По данным этих измерений была построена нормированная на единицу площади функ- ция W(D) (гистограмма) числа пятен, имеющих: по центру приблизительно одинаковую плотность.

С учетом того, что D = y\n {-f/Jo) (где у = =1,6 - коэффициент контрастности пленки; /о - параметр пленки, определяемый величиной вуали); плотность вероятности P{D) для закона ,(2.1.23) имеет вид

P(D) =

</>Y

exp

(2.1.24)

Зависимость, описываемая (2.1.24), изображена на рис. 2.3 сплошной кривой линией. Сравнивая эту зависимость с гистограммой, видим, что в данном случае имеет место хорошее совпадение обеих зависимостей.

В заключение сопоставим полученные результаты с условиями, которые реализуются в лазерной локации удаленных целей. В качестве примера рассмотрим излучение с А.=0,488 мкм. Соответствующие этому излучению средние значения суммарных чисел пятен в лазерном изображении в зависимости от эффективной площади рассеяния цели 5о, диаметра зеркала телескопа а и расстояния до цели R приведены в табл. 2.1.

Из этой таблицы видно, что рассчитывать на «очень» большое число пятен в изображении при лазерной локации удаленных целей приходится далеко не всегда. Так как Mq пропорционально числу элементов разрешения на цели, то сделанный вывод, фактически, является следствием ограниченной разрешающей способности формирующей оптической системы.

2.2. Сглаживание спекл-структуры оптических изображений

В предыдущем разделе при обсуждении основных статистических особенностей лазерных изображений значительное внимание уделялось случаю сравнительно высокой разрешающей способности (МоЗ>1), когда оказывается справедливым приближение (2.1.17).

В результате могло сложиться впечатление будто бы это требование настолько серьезное, что фактически разрешается сама микроструктура, и именно это обстоятельство обусловливает пятнистость изображения.

Конечно, если бы разрешалась микроструктура поверхности, то изображение также состояло бы из отдельных пятен. Однако эти пятна соответствовали бы дифракционным изображениям (пятнам Эйри) тех блестящих точек, которые реализовались на данной поверхности. В действительности имеет место совсем иная ситуация, когда оптика обеспечивает разрешение только макродеталей объек-

та, а в каждый элемент разрешения попадает такой участок поверхности, на котором имеется много блестящих точек. Именно это обстоятельство и обусловливает полученные ранее статистические характеристики пятен и именно ему обязан тот факт, что среднее число пятен определяется разрешающей способностью, а не зависит от суммарного числа блестящих точек.

Итак, появление спекл-структуры обязано лишь монохроматическому подсвету и никак не связано с какими-то особыми условиями формирования оптического изображения, отличными от повседневной практики. В связи с этим возникают два вопроса: как же происходит исчезновение спекл-структуры при переходе от монохроматического к полихроматическому естественному освещению и как можно было бы устранить нежелательную, по крайней мере в эстетическом отношении спекл-структуру? Оба вопроса в определенном смысле взаимосвязаны, поэтому начнем с ответа на второй вопрос.

Согласно соотношению (2.16) интенсивность в усредненном изображении описывается плавной функцией, так что никаких пятен в нем уже нет. Поэтому, если имеется несколько статистически независимых между собой изображений одного и того >ie объекта, то, сложив их, должно получиться изображение, которое описывается более гладкой функцией. Это означает, что соответствующее распределение интенсивности будет обладать меньшими флуктуа-циями и контраст пятен, который характеризуется отношением

(Ти(р/</й(р)>, уменьшается.

Рассмотрим, как изменяется контраст пятен для случая, когда складывается N статистически независимых изображений. Пусть Jan{p) обозначает интенсивность п-го изображения, а /hjv(p) - ин-

тенсивность их суммы, так что УиЛ(р) = У Лп(р)-. Тогда

("Р)) = 2 К. Й> = (л (Р)). (2.2.1)

°иЛ(3-(./иЛ.(rt)-(Лл.(p)>=2] (•>ЛрУ.т{р))-шр)у =

п,т=1

= n[{JlC9))-{jX9m = nol{?)=n {JX)) так что

-.«{9)==VN {JM- (2.2.2)

Таким образом, если средний контраст пятен в каждом отдельном изображении аи(р)/</и(р)> = 1, то после сложения N статистиче-